Enunciado

Para as condições descritas no Problema 1.39, determine a distribuição de temperatura, T r , no recipiente, expressando seu resultado em termos de q o , r o , T ∞ , h , e a condutividade térmica k dos rejeitos radioativos.

Passo 1

Fala Pessoal!! Bora fazer essa questão comigo!!

Nesse problema, temos um cilindro e geração, então, vamos utilizar a equação do calor para sistemas radiais com geração. Assim temos:

1 r ⋅ d d r r ⋅ d T d r + q ˙ k = 0

Agora, vamos substituir uma expressão para q ˙ dada na figura do problema 1.39, então, a equação do calor se torna:

1 r ⋅ d d r r ⋅ d T d r + q 0 ˙ k 1 - r r 0 2 = 0

1 r ⋅ d d r r ⋅ d T d r = - q 0 ˙ k 1 - r r 0 2

d d r r ⋅ d T d r = - q 0 ˙ r k 1 - r r 0 2

d d r r ⋅ d T d r = - q 0 ˙ r k + q 0 ˙ r 3 k r 0 2

Passo 2

Agora, integramos a equação, obtida no passo anterior, em r . Assim temos:

r ⋅ d T d r = - q 0 ˙ r 2 2 k + q 0 ˙ r 4 4 k r 0 2 + C 1

d T d r = - q 0 ˙ r 2 k + q 0 ˙ r 3 4 k r 0 2 + C 1 r

Vamos integrar novamente a expressão resultante, então obtemos:

T = - q 0 ˙ r 2 4 k + q 0 ˙ r 4 16 k r 0 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

Passo 3

Agora, para encontrar as constantes C 1 e C 2 , vamos aplicar as condições de contorno. No centro do cilindro a temperatura é constante, ou seja:

r = 0   → d T d r = 0

Então, substituindo esses valores na equação obtida no passo 2, temos:

d T d r = - q 0 ˙ r 2 k + q 0 ˙ r 3 4 k r 0 2 + C 1 r

0 = - q 0 ˙ 0 2 k + q 0 ˙ 0 3 4 k r 0 2 + C 1 r

C 1 = 0

A segunda condição é que na superfície, a troca de calor por condução se iguala à convecção, então, temos:

- k d T d r r - r 0 = h T r 0 - T ∞

Então, substituindo as expressões, temos:

- k - q 0 ˙ r 0 2 k + q 0 ˙ r 0 3 4 k r 0 2 = h - q 0 ˙ r 0 2 4 k + q 0 ˙ r 0 4 16 k r 0 2 + C 2 - T ∞

q 0 ˙ r 0 2 - q 0 ˙ r 0 4 = h - q 0 ˙ r 0 2 4 k + q 0 ˙ r 0 2 16 k + C 2 - T ∞

1 h q 0 ˙ r 0 4 = - 3 q 0 ˙ r 0 16 k + C 2 - T ∞

C 2 = q 0 ˙ r 0 4 h + 3 q 0 ˙ r 0 16 k + T ∞

Dessa forma, o perfil de temperatura será:

T = - q 0 ˙ r 2 4 k + q 0 ˙ r 4 16 k r 0 2 + q 0 ˙ r 0 4 h + 3 q 0 ˙ r 0 16 k + T ∞

T = q 0 ˙ 4 - r 2 k + r 4 4 k r 0 2 + r 0 h + 3 r 0 4 k + T ∞

Resposta

T = q 0 ˙ 4 - r 2 k + r 4 4 k r 0 2 + r 0 h + 3 r 0 4 k + T ∞

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