Enunciado

Considere a placa retangular bidimensional do Problema 4.2 tendo uma condutividade térmica de 50   W / m ⋅ K . Começando com a solução exata para a distribuição de temperatura, derive uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de espessura da placa ao longo da superfície inferior 0 ≤ x ≤ 2 ,   y = 0 . Avalie a taxa de calor considerando os primeiros cinco termos diferentes de zero da série infinita.

Passo 1

Fala Pessoal!! Vem comigo fazer mais uma questão!!

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condução em estado estacionário bidimensional.

(2) Propriedades constantes.

Passo 2

Podemos começar a questão tendo em vista que a taxa de calor por unidade de espessura da placa ao longo da superfície inferior pode ser obtida pela seguinte expressão:

q s a í d a ' = - ∫ x = 0 x = 2 d q y ' x , 0

q s a í d a ' = - ∫ x = 0 x = 2 - k ∂ T ∂ y y = 0 d x

q s a í d a ' = k T 2 - T 1 ∫ x = 0 x = 2 ∂ θ ∂ y y = 0 d x

Da Seção 4.2, a distribuição da temperatura é

θ x , y = T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n sen ⁡ n π x L senh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Substituindo a distribuição de temperatura na expressão encontrada, temos:

q s a í d a ' = k T 2 - T 1 ∫ x = 0 x = 2 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n sen ⁡ n π x L n π / L cosh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L y = 0 d x

Integrando, temos:

q s a í d a ' = k T 2 - T 1 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n 1 senh ⁡ n π W / L - cos ⁡ n π x L x = 0 2

q s a í d a ' = k T 2 - T 1 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n 1 senh ⁡ n π W / L 1 - cos ⁡ n π

Passo 3

Podemos perceber que quando n é um numero par ( 2 ,   4 ,   6   . . .   ) , o termo

1 - cos ⁡ n π = 0

Logo, os primeiro 5 termos não nulos serão quando n = 1 ,   3 ,   5 ,   7   e   9 . Substituindo, temos:

q s a í d a ' = 50   W / m ⋅ K 150 ℃ - 50 ℃ 2 π 2 1 1 senh ⁡ π 2 2 + 2 3 1 senh ⁡ 3 π 2 2 + 2 5 1 senh ⁡ 5 π 2 2 + 2 7 1 senh ⁡ 7 π 2 2 + 2 9 1 senh ⁡ 9 π 2 2

q s a í d a ' = 5611   W / m  

Portanto a taxa de transferência de calor é 5611   W / m   .

Resposta

q s a í d a ' = 5611   W / m  

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