Enunciado

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Para as condições do Problema 4.35, avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção x na saída do canal e aquele na entrada.

Passo 1

Considerações:

  1. Escoamento estacionário;
  2. Fluído incompressível;
  3. Escoamento uniforme.

Passo 2

Com as considerações feitas no Passo 1, temos que a equação do fluxo de momento na direção x é:

m ⋅ f x = ∫ A u ρ V d A

Passo 3

Analisando o fluxo de entrada, temos:

m ⋅ f x 1 = ∫ A 1 u ρ u d A = u 2 ρ A 1

Dado que A 1 = 2 π R 2 :

m ⋅ f x 1 = ρ u 2 π R 2

Passo 4

Analisando o fluxo de saída, temos:

m ⋅ f x 2 = ∫ 0 R u ρ u d A = ∫ 0 R u ρ u 2 π r d r

Dado que u = u m á x 1 - r R 2 :

m ⋅ f x 2 = ∫ 0 R 2 π ρ r u m á x 2 1 - r R 2 2 d r

m ⋅ f x 2 = 2 π ρ u m á x 2 ∫ 0 R r 1 - r R 2 2 d r

Integrando, obtemos:

m ⋅ f x 2 = 1 3 π ρ R 2 u m á x 2

Passo 5

Aplicando a equação de conservação de massa no fluxo de entrada e saída do canal:

∫ ρ V d A = 0

- ρ u π R 2 + ∫ 0 R ρ u 2 π r d r = 0

ρ u π R 2 = ρ 2 π ∫ 0 R u r d r

u R 2 = 2 ∫ 0 R u r d r

Sendo   u = u m á x 1 - r R 2 :

u R 2 = 2 u m á x ∫ 0 R r 1 - r R 2 d r

Integrando, temos que:

R 2 2 u m á x = u R 2

Assim:

u m á x = 2 u

Passo 6

Queremos calcular m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 , então:

m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 = 1 3 π ρ R 2 u m á x 2 ρ u 2 π R 2 = 1 3 ⋅ u m á x u 2

Sendo   u m á x = 2 u

m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 = 1 3 ⋅ 2 u u 2 = 4 3 = 1,33

Resposta

m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 = 1,33

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