Enunciado

A condutividade térmica de um sólido cuja densidade e calor específico são conhecidos pode ser determinada a partir da relação   k = α ρ c P após avaliação da difusividade térmica α .

Considere uma barra cilíndrica de 2 cm de diâmetro feita de amostra de material com densidade e calor específico de 3700 kg/m³ e 920 J/kg.K, respectivamente. A amostra está inicialmente a uma temperatura uniforme de 25 °C. A fim de medir a temperatura da amostra na superfície e no centro, um termopar é inserido no centro no centro da amostra ao longo da linha central e outro é soldado no furo da superfície. A amostra é colocada em água fervente a 100 °C. Após 3minutos, as temperaturas na superfície e no centro são registradas como 93 °C e 75 °C, respectivamente, Determine a difusividade térmica e a condutividade térmica do material.

Passo 1

Nesse problema, devemos calcular a difusividade térmica e a condutividade térmica de uma barra cilíndrica. Para isso, utilizaramos as Figuras 4-17a e 4-17b (página 241), que são os gráficos de Heisler da temperatura na linha central e a distribuição de temperaturas ao longo do cilindro, respectivamente.

Para consultar esses gráficos, devemos utilizar as temperaturas no centro e na superfície do cilindro que são, respectivamente, 75 °C e 93 °C. Além disso, devemos utilizar a temperatura inicial (25 °C) e da água onde a barra está mergulhada (100 °C).

Antes de tudo, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 25   ° C       T ∞ = 10 0   ° C T 0 = 75   ° C T S = 93   ° C ρ   =   37 00   k g / m ³ c P = 920   J / k g . K

Passo 2

Em primeiro lugar, devemos ir até a Figura 4-16b, no gráfico de Heisler correspondente à distribuição de temperaturas ao longo de um cilindro.

Para ler esse diagrama, basta entrar com o valor de θ / θ 0 no eixo y   e cruzar com a curva correspondente ao valor de r / r 0 , lendo o valor de 1 / B i no eixo   x .

Nós devemos calcular o valor de θ / θ 0 nas superfície, que é o valor no qual r = r 0 e, portanto, r / r 0   = 1 .

Calculando o valor de θ / θ 0 :

θ θ 0 =   T -   T ∞ T 0 - T ∞ = 93   ° C -   100   ° C 75   ° C - 100   ° C = 0,28

Sendo assim, cruzando esse valor para o eixo y com a primeira curva de baixo para cima ( r / r 0   = 1 ), obtemos:

θ θ 0 = 0,28 r r 0 = 1 , 0   →   1 B i ≅ 0,3

Passo 3

Em seguida, devemos ir na Figura 4-16a, no gráfico de Heisler correspondente à temperatura adimensional no centro do cilindro, e cruzar o valor de θ 0   no eixo   y com a curva correspondente a 1 / B i = 0,3 , valor que acabamos de encontrar no passo anterior, para encontrar o valor de τ no eixo x .

Calculando o valor da temperatura adimensional no centro do cilindro:

θ 0 =   T 0 -   T ∞ T i - T ∞ = 75   ° C -   100   ° C 2 5   ° C - 100   ° C = 0,33

Sendo assim, cruzando esse valor para o eixo y com a quarta curva da esquerda para a direita ( 1 / B i = 0,3 ), obtemos:

θ 0 = 0,33   1 B i = 0,3   →   τ ≅ 0,5

Passo 4

Agora, devemos lembrar que:

τ =   α t r 0 ²

Rearranjando para explicitar a difusividade e substituindo os valores:

α =   r 0 ² τ t =   0,01   m 2 ( 0,5 ) 180   s = 2,78 x 10 - 7   m ² / s  

Além disso, pelo enunciado:

k = α ρ c P = 2,78 x 10 - 7 m 2 s 3700 k g m 3 920 J k g . K = 0,95 W m . K

Resposta

Como demonstrado no passo anterior, a difusividade térmica e a condutividade térmica são, respectivamente, 2,78 x 10 - 7   m ² / s e 0,95   W / m . K .

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