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Considere o aparelho fotovoltaico concentrador do Problema 7.19. O aparelho deve ser instalado em um ambiente desértico, de modo que o espaço entre as lentes concentradoras e o topo da célula fotovoltaica é fechado para proteger a célula da abrasão por areia em condições de ventos. Como o resfriamento por convecção no topo da célula é reduzido pelo envoltório, um engenheiro propõe resfriar a célula fotovoltaica através da fixação de um dissipador de calor de alumínio na sua superfície inferior. As dimensões do dissipador de calor e o material são os mesmos do Problema 7.29. Há uma resistência de contato de 0,5 ⋅ 10 - 4   m 2 K / W na interface célula/dissipador de calor e um líquido dielétrico ( k = 0,064   W / m ⋅ K , ρ = 1400   k g / m 3 ,   c p = 1300   J / k g ⋅ K , ν = 10 - 6   m 2 / s ,   P r = 25 ) escoa entre as aletas do dissipador com u ∞ = 3   m / s e T ∞ = 25   ° C .

  1. Determine a potência elétrica produzida pela célula fotovoltaica e a temperatura do silício para uma lente concentradora quadrada com L l e n t = 400   m m .
  2. Compare as potências elétricas produzidas pela célula com o dissipador de calor no lugar e com a superfície inferior resfriada diretamente pelo fluido dielétrico (isto é, sem o dissipador) para L l e n t = 1,5   m .
  3. Determine a potência elétrica produzida e a temperatura do silício na faixa 100   m m ≤ L l e n t ≤ 3000   m m com o dissipador de alumínio no lugar.

Passo 1

Caramba! Que questão confusa! Uma mistura tão grande de informações. Um pedaço de uma questão, um pedaço de outra e tudo complementa aqui.

Isso assusta bastante, mas calma. Muita calma nesta hora. Vamos entender tudo o que está acontecendo aqui e resolver uma letra de cada vez.

Vejam só. Primeiro, temos uma célula fotovoltaica do exercício 7.19 (que foi retirado lá do exemplo 3.3). Ao fundo desta célula, na parte do nitreto de alumínio, nós vamos “colar” o fundo do dissipador do exercício 7.29. Com isto, temos uma única peça.

A grande dificuldade é realmente entender o que está acontecendo. Agora que já sabemos como foi montado, podemos resolver a questão.

A vantagem desta questão utilizar informações a modelagem de outras questões, é que podemos utilizar o conhecimento desenvolvido nelas. Por exemplo, a letra a) nos pede para determinar a potência elétrica. Sabemos que ela é expressa por:

P = 0,83 G c A η

P = 0,83 G L l e n t L 2 A η

Passo 2

Então, nosso trabalho seria descobrir esse η , para a letra a), por exemplo. E como faríamos isto? Bom, vamos trabalhar com a analogia de circuitos térmicos, utilizando os circuitos desenvolvidos nas questões 7.19 e 7.29.

Com isto, temos:

Então, temos que calcular cada um dos elementos. Começando pelos “mais fáceis”, isto é, deixando a aleta por último, temos:

R b a s e = L b k A b = 0,01 180 ⋅ 0,1 2 = 5,56 ⋅ 10 - 3   K / W

R t , c = R t , c ' ' A = 0,5 ⋅ 10 - 4 0,1 2 = 5 ⋅ 10 - 3   K / W

R n A l = L n A l k n A l A = 2 ⋅ 10 - 3 120 ⋅ 0,1 2 = 1,667 ⋅ 10 - 3   K / W

R s o l d = L s o l d k s o l d A = 0,1 ⋅ 10 - 3 50 ⋅ 0,1 2 = 0,2 ⋅ 10 - 3   K / W

R a = L a k a A = 0,1 ⋅ 10 - 3 145 ⋅ 0,1 2 = 0,0689 ⋅ 10 - 3   K / W

R v = L v k v A = 3 ⋅ 10 - 3 1,4 ⋅ 0,1 2 = 214,2 ⋅ 10 - 3   K / W

h r a d , c o n v = ϵ σ T 1 + T v i z T 1 2 + T v i z 2 = 0,9 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ T 1 + 298 T 1 2 + 298 2

R r a d , c o n v = 1 h r a d , c o n v A

Tenham sempre cuidado na hora de calcular a resistência térmica de convecção e radiação. A temperatura deve estar em Kelvin!

OBS: Todas as informações sobre as propriedades acima foram retiradas lá da questão 7.19.

Passo 3

Vamos calcular agora a resistência térmica devido a aleta, que é um pouco mais trabalhosa.

E como será dado a sua resistência térmica? Ela será dada pela seguinte relação:

R t , o = 1 η o h - A t = 1 1 - N A a A t 1 - η a h - A t

Eita. São tantos termos que assusta ainda mais. Mas não se assustem, vamos destrinchar cada um dos termos.

A começar, temos a constante N , que corresponde ao número de aletas. Portanto, N = 6 . A constante A a é a área superficial das aletas em contato com o ar. Portanto, ele será expresso por:

A a = 2 A l a t e r a l + A s u p e r i o r

A a = 2 w 2 L a + w 2 t

A a = 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,05 + 0,1 ⋅ 0,01 = 0,011   m 2

E quem é a constante A t ? É a soma da área superficial de todas as aletas com a área da base em contato com o ar. Portanto,

A t = N A a + A b a s e

A t = N A a + N - 1 S - t w 2

A t = 6 ⋅ 0,011 + 5 ⋅ 0,008 ⋅ 0,1 = 0,07   m 2

E o termo η a ? Ela é a eficiência da aleta. Considerando que temos uma aleta plana retangular, a relação correta é η a = tanh ⁡ m L c m L c . Mas, para calcularmos, vamos precisar do coeficiente de transferência de calor h - (e também é uma das constantes da fórmula de resistência térmica).

Calculando o número de Reynolds, temos:

R e w 2 = u ∞ w 2 ν = 3 ⋅ 0,1 10 - 6 = 3 ⋅ 10 5

Portanto, como R e < 5 ⋅ 10 5 , temos escoamento laminar. Então, a relação que devemos utilizar é:

h - ⋅ w 2 k = N u - w 2 = 0,664 ⋅ R e w 2 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

h - = k w 2 ⋅ 0,664 ⋅ R e w 2 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

Portanto, o coeficiente de transferência de calor será:

h - = 0 , 064 2 0,1 ⋅ 0,664 ⋅ 3 ⋅ 10 5 1 / 2 ⋅ 2 5 1 3 = 683   W / m 2 ⋅ K

Pronto! Agora, realmente só falta a eficiência η o . Calculando o coeficiente m , temos:

m = 2 h - k a l u m i n i o t 1 / 2 = 2 ⋅ 683 180 ⋅ 0,01 1 / 2 = 27,5   m - 1

E o comprimento característico L c = L a + t 2 = 0,055   m . Portanto,

η o = tanh ⁡ 27,5 ⋅ 0,055 27,5 ⋅ 0,055 = tanh ⁡ 1,51 1,51 = 0 , 6

Então, a resistência térmica será:

R t , o = 1 1 - 6 ⋅ 0,011 0,07 1 - 0,6 ⋅ 683 ⋅ 0,07 = 33,7 ⋅ 10 - 3   K / W

Muito trabalho né? Percebam que não são contas “muito difíceis”. O que confunde é a quantidade de relações que devemos utilizar.

Passo 4

Bom, agora, já temos quase todas as informações necessárias para descobrir a temperatura do silício e a potência do silício.

O que devemos fazer agora é obter equações que relacionem estas variáveis de alguma forma. E para isto, vamos começar fazendo um balanço de energia.

Lá do circuito de resistências térmicas, realizando um balanço de energia, temos:

0,83 G c A 1 - η = q 1 + q 2

0,83 G L l e n t L 2 A 1 - η = q 1 + q 2

Mas quem é q 1 e q 2 ? Novamente, analisando a taxa de transferência de calor, temos:

q 1 = T s i - T 7 R t , o + R b a s e + R t , c + R n A l + R s o l d = T s i - T ∞ R t , o + R b a s e + R t , c + R n A l + R s o l d

Já para o q 2 , temos:

q 2 = T s i - T v i z R a + R v + R r a d , c o n v

Só que R r a d , c o n v está em função de T 1 ,e não T s i , podemos relacionar ambas as temperaturas também através da própria taxa q 2 através da seguinte relação:

q 2 = T s i - T v i z R a + R v + R r a d , c o n v = T 1 - T v i z R r a d , c o n v

E, para finalizar o sistema que temos de resolver, temos a equação desenvolvida lá na questão 7.19 que correlaciona η com a temperatura do silício, a qual era:

η = 0,28 - 0,001 T s i - 273

Então, se a gente substitui as relações na nossa equação inicial, temos:

0,83 G L l e n t L 2 A 1 - η = q 1 + q 2

0,83 G L l e n t L 2 A 1 - 0,28 - 0,001 T s i - 273 = T s i - T ∞ R t , o + R b a s e + R t , c + R n A l + R s o l d + T s i - T v i z R a + R v + R r a d , c o n v

Se resolvermos a equação acima juntamente da seguinte equação:

T s i - T v i z R a + R v + R r a d , c o n v = T 1 - T v i z R r a d , c o n v

Vamos obter um valor aproximado de T s i ≈ 303   K . Este é um sistema bem complexo de resolver, necessitando de softwares que nos ajude.

Continuando, o termo η será dado por:

η = 0,25

E assim, concluímos que a potência será:

P = 0,83 G L l e n t L 2 A η

P = 0,83 ⋅ 700 0,4 0,1 2 ⋅ 0,1 2 ⋅ 0,25 = 23,2   W

Passo 5

Para quem sofreu na letra a), a letra b) é uma moleza! Vamos primeiro resolver o sistema mantendo todas as características das nossas equações. A diferença será no valor L l e n t , que deverá ser igual a 1500 mm agora.

Então, se a gente pega o sistema da questão anterior e resolve para o valor de L l e n t = 1500   m m , vamos obter os valores aproximados de T s i ≈ 75 ° C e P = 270   W .

Basicamente, o que tivemos foi trabalho de cálculo apenas.

Agora, o “problema” é quando modificamos a questão. Se, ao invés de na parte inferior termos o dispositivo aletado da questão 7.29, colocarmos diretamente o fluido dielétrico?

Bom, o que nós precisamos fazer aqui são pequenas alterações. No lugar de R b a s e , R t , c e R t , o , vamos substituir estas três resistências por apenas uma, devido a convecção. Ela será:

R c o n v = 1 h - A = 1 681 ⋅ 0,1 2 = 146,8 ⋅ 10 - 3   K / W

Notem que o coeficiente de transferência de calor nós já calculamos durante a parte da aleta.

Então, o cálculo do novo q 1 será:

q 1 = T s i - T 7 R c o n v + R n A l + R s o l d = T s i - T ∞ R c o n v + R n A l + R s o l d

E o sistema que devemos resolver é:

0,83 G L l e n t L 2 A 0,72 - 0,001 T s i - 273 = T s i - T ∞ R c o n v + R n A l + R s o l d + T s i - T v i z R a + R v + R r a d , c o n v

T s i - T v i z R a + R v + R r a d , c o n v = T 1 - T v i z R r a d , c o n v

Resolvendo as duas equações acima, vamos obter T s i ≈ 200   ° C . Substituindo este valor para o cálculo do η e da potência, temos P = 105   W .

Resposta

  1. A temperatura do silício é aproximadamente 30   ° C e a potência é 23,2 W.
  2. Para o caso com o dissipador de calor, a temperatura do silício é aproximadamente 75 ° C e a potência é 270 W. Já para o caso da superfície resfriada pelo fluido dielétrico, a temperatura do silício é aproximadamente 200   ° C e a potência é 105 W.

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