Enunciado

Considere um aquecedor elétrico de água quente com 1,5 m de altura e 40 cm de diâmetro e mantenha a água quente a 60°C. O reservatório está localizado em uma pequena sala cuja temperatura média é de 27°C e os coeficientes de transferência de calor nas superfícies interna e externa do aquecedor são de 50   e   12 W m 2 ·   K   , respectivamente. O reservatório é colocado em outro tanque de chapa de metal de 46 cm de diâmetro, de espessura desprezível, e o espaço entre os dois tanques é preenchido com isolamento de espuma k = 0,03 W m   ·   K . As resistências térmicas do tanque de água e da fina casca externa de folha de metal são muito pequenas e podem ser negligenciadas. O preço da eletricidade é de U S $ 0,08 k W h e o proprietário da casa paga U S $ 280 a n o pelo aquecimento da água. Determine a fração do custo da energia da água quente para o dono da casa devido à perda de calor do tanque.

Conjuntos de isolamento de reservatórios de água quente constituídos de isolante de fibra de vidro k = 0,03 5 W m   ·   K   de 3 cm de espessura, grande o suficiente para envolver todo o tanque, estão disponíveis no mercado por cerca de U S $ 30 . Se esse isolamento for instalado neste reservatório de água pelo próprio proprietário da casa, quanto tempo levará para que esse isolamento adicional se pague?

Passo 1

Shoow!!

Vamos começar como de costume, desenhando as queridas resistências. Na parte interna contendo a água quente existe uma resistência convectiva interna, temos a resistência oferecida pela espuma e finalizamos com a resistência convectiva externa:

Então:

R i n t = 1 h i n t × A i n t

R e s p u m a = ln ⁡ r 2 r 1 2 π k e s p u m a L

R e x t = 1 h e x t × A e x t

Já sabemos como calcular as resistências, só precisamos das áreas.

Bora lá?

A área interna da seção transversal é dada por:

A i n t = 2 π r i n t L = π d i n t L

A i n t = π ( 0 , 40   m ) ( 1 , 5   m ) = 1,885   m 2

Para a área externa nós levamos em consideração o diâmetro interno mais o comprimento da espuma:

d e x t = d i n t + 2 l e s p u m a = 40   c m + 2 × 3   c m = 46   c m

Então:

A e x t = π d e x t L

A e x t = π ( 0 , 46   m ) ( 1 , 5   m ) = 2,1677   m 2

Passo 2

Agora vamos substituir nas fórmulas e achar nossas tão queridas resistências:

R   i n t = 1 5 0 W m 2 K × 1,885   m 2 = 0,0 1061 K W

R e x t = 1 12 W m 2 K × 2,1677   m 2 = 0 , 03844   K W

Sabendo que r = d 2 podemos adaptar a resistência para a espuma:

R e s p u m a = ln ⁡ d 2 d 1 2 π k e s p u m a L

Substituindo:

R e s p u m a = ln ⁡ 0,46 0,40 2 π 0,03 W m   ·   K ( 1,5   m ) = 0,4943 K W

Como estão todas em série, a resistência total é dada por:

R T = R i n t + R e s p u m a + R e x t

R T = 0,01061 K W + 0,4943 K W + 0,03844   K W

R T = 0,54335   K W

Lembrando da fórmula do calor:

Q ˙ = T i n t - T e x t R T

E substituindo:

Q ˙ = 60 ° C - 27 ° C 0,54335   K W

Como a variação em graus Celsius e kelvin é a mesma:

Q ˙ = 60,734   W

Beleza! Achamos que o trocador de calor perde cercar de 60,734   W .

Passo 3

Para responder o custo anual deste calor perdido, vamos precisar achar inicialmente a quantidade de calor desperdiçada ao longo desse um ano.

Para isso vamos multiplicar a taxa de calor obtida anteriormente pelo tempo, em horas:

∆ t = 1   a n o × 365   d i a s 1   a n o × 24   h 1   d i a = 8760   h

Usamos a fórmula:

Q = Q ˙ ∆ t

E transformando W em kW

Q = 60,734   W × 1   k W 1000   W × 8760   h = 532,03   k W h

Se sabemos que o custo é dado por U S $ 0,08 k W h :

C u s t o = 532,03   k W h × U S $ 0,08 k W h = U S $ 42,562

Se ele paga por ano U S $ 280 , a fração de energia desperdiçada será:

f = U S $ 42,562 U S $ 280 × 100 % = 15,2 %

Sendo assim, 15,2% do que ele paga por ano é devido ao calor que é perdido!

Passo 4

Beleza galera! Agora temos uma resistência a mais

Se adicionamos mais uma camada de isolante iremos variar a área externa, mas a interna permanece igual:

A i n t = 1,885   m 2

Para a área externa nós levamos em consideração o diâmetro anterior mais o comprimento do isolamento extra:

d e x t = d i n t + 2 l e x t r a = 4 6   c m + 2 × 3   c m = 52   c m

Então:

A e x t = π d e x t L

A e x t = π ( 0 , 52   m ) ( 1,5   m ) = 2 , 4504   m 2

Vamos guardar esta informação e olhar para as resistências!

As resistências interna e da espuma não variam:

R   i n t = 0,01061 K W

R e s p u m a = 0,4943 K W

A resistência externa agora leva em conta a nova área:

R e x t = 1 h e x t × A e x t 1 12 W m 2 K × 2,4504   m 2 = 0,034   K W

E para o isolamento extra

R i s o l a m e n t o   e x t r a = ln ⁡ d 3 d 2 2 π k i s o l a m e n t o   e x t r a L

Substituindo:

R i s o l a m e n t o   e x t r a = ln ⁡ 0,52 0,4 6 2 π 0,03 5 W m   ·   K ( 1,5   m ) = 0 , 3716 K W

Como estão todas em série, a resistência total é dada por:

R T = R i n t + R e s p u m a + R i s o l a m e n t o   e x t r a + R e x t

R T = 0,01061 K W + 0,4943 K W + 0,034   K W + 0,3716 K W

R T = 0 , 91052   K W

E agora vamos colocar na fórmula:

Q ˙ = 33   K 0,91052   K W

Q ˙ = 36,2431   W

Passo 5

Já descobrimos que ao invés de perder 60,734   W agora o dono da casa perderá somente 36,2431   W .

Qual a economia??

Q ˙ e c o n o m i z a d o = 60,734   W - 36,2431   W = 24,5   W

Bom galera, sabemos que o custo deste isolamento será dado por:

C u s t o = Q ˙ e c o n o m i z a d o ∆ t × U S $ 0,08 k W h

Substituiremos nossos dados para descobrir esta variação de tempo:

U S $ 30 = 24,5   W × 1   k W h 1000   W × ∆ t × U S $ 0,08 k W h

∆ t = 15306,12   h

Vamos transformar em meses:

∆ t = 15306,12   h × 1   a n o 365   d i a s × 1   d i a 24   h × 12   m e s e s 1   a n o = 21   m e s e s

E fiiim !!

Resposta

Fração do Custo de Calor Perdido: 15,2 % ;

Tempo para que o isolante se pague: 21   m e s e s .

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