Enunciado

Em uma partícula esférica de raio r 1 há geração térmica uniforme a uma taxa q ˙ . A partícula é encapsulada por uma casca esférica com raio externo r 2 , que é resfriada pelo ar ambiente. As condutividades térmicas da partícula e da casca são k 1 e k 2 , respectivamente, sendo k 1 = 2 k 2 .

(a) Aplicando o princípio da conservação de energia no volume de controle esférico A , que é posicionado em uma posição arbitrária no interior da esfera, determine uma relação entre o gradiente de temperatura, d T / d r , e o raio local, r , para 0   ≤   r   ≤   r 1 .

(b) Aplicando o princípio da conservação de energia no volume de controle esférico B , que é posicionado em uma posição arbitrária no interior da casca esférica, determine uma relação entre o gradiente de temperatura, d T / d r , e o raio local, r , para r 1   ≤   r   ≤   r 2 .

(c) Em coordenadas T   -   x , esboce a distribuição de temperaturas em 0   ≤   r   ≤   r 2 .

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional com geração de energia, logo a troca de calor só ocorre em uma direção que no caso apresentado é a radial, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Origem e sentido do aquecimento da parede com geração de calor.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - C o n d i ç õ e s   d e   e s t a d o   p e m a n e n t e

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a) quer uma relação

Como nossa condução é unidimensional e há geração de energia, temos:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ a c u

Sendo nossa energia gerada dada por:

E ˙ g = q ˙ ⋅ V = q ˙ 4 3 π r 3

Como nosso sistema não é isolado E ˙ a c u = 0

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = q r ' ' ⋅ A

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = - - k 1 ∂ T ∂ r ⋅ 4 π r 2

Substituindo os resultados encontrados na equação do balanço de energia temos.

k ∂ T ∂ r ⋅ 4 π r 2 + q ˙ 4 3 π r 3 = 0

Isolando ∂ T ∂ r encontramos:

∂ T ∂ r = - q ˙ r 3 k 1

Passo 3

(b) Vamos seguir a mesma lógica do item A entretanto nosso r = ( r - r 1 ) na parte

E ˙ e n t r a = E ˙ s a i , assim temos:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ a c u

Sendo nossa energia gerada dada por:

E ˙ g = q ˙ ⋅ V = q ˙ 4 3 π r 1 3

Como nosso sistema não é isolado E ˙ a c u = 0

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = q r ' ' ⋅ A

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = - - k 1 ∂ T ∂ r ⋅ 4 π r 2

Substituindo os resultados encontrados na equação do balanço de energia temos.

k ∂ T ∂ r ⋅ 4 π r 2 + q ˙ 4 3 π r 3 = 0

Isolando ∂ T ∂ r encontramos:

∂ T ∂ r = - q ˙ r 1 3 3 k 1 r - r 1 2

Passo 4

(c) Vamos lá pra resolver isso precisamos integrar os resultados da letra (a) e da letra (b)

Primeiro para r ≤ r 1

∫ ∂ T ∂ r = ∫ - q ˙ r 3 k 1 d r

Como a condição de contorno é.

r = 0 ,   T r = T 0  

T 1 r = - q ˙ r 2 6 k 1 + T 0

Agora para r 1 < r ≤ r 2

∫ ∂ T ∂ r = ∫ - q ˙ r 1 3 3 k 1 r - r 1 2 d r

Como a condição de contorno é.

r = r 1 ,   T r = - q ˙ r 1 2 6 k 1 + T 0  

T r = q ˙ r 1 3 3 k 1 1 r - r 1 - q ˙ r 1 2 6 k 1 + T 0  

Simplificando:

T 2 r = q ˙ r 1 2 3 k 1 r 1 r - r 1 - 1 2 + T 0

Agora traçando nosso gráfico em função de r temos:

Obs: A primeira parte do gráfico se comporta em função de - r 2 , logo é uma parábola com concavidade pra baixo, já a segunda parte segue como uma função de 1 / r .

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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