Enunciado

Considere um campo de escoamento permanente, bidimensional, incompressível chamado de corrente uniforme. A velocidade do fluido é V em qualquer ponto, e o escoamento é alinhado com o eixo x (Figura P9-47). As componentes cartesianas da velocidade são u = V e v = 0 . Encontre uma expressão para a função corrente para esse escoamento. Suponha V = 8,9   m / s . Se ψ 2 for uma reta horizontal em y = 0,5   m e o valor de ψ ao longo do eixo x for zero, calcule a vazão em volume por unidade de largura (para dentro da página da Figura P9-47) entre essas duas linhas de corrente.

Passo 1

Essa é uma questão de função corrente! O enunciado dela quer saber duas informações: uma expressão para a função corrente ψ desse escoamento e o valor da vazão volumétrica por unidade de largura V ˙ / w que passa entre as linhas de corrente com funções correntes que valem ψ 0 e ψ 2 . A figura abaixo mostra os dados que temos e as informações que buscamos.

onde ψ é a função corrente do escoamento, ψ 0 é o valor da função corrente da linha de corrente que se encontra em y 0 = 0 , ψ 1 é o valor da função corrente da linha de corrente que se encontra em y 1 , ψ 2 é o valor da função corrente da linha de corrente que se encontra em y 2 = 0 , 5   m . v é a componente vertical da velocidade do fluido, u é a componente horizontal da velocidade do fluido (que vale V = 8,9   m / s ).

Depois de entender todos esses dados, podemos entender como encontrar uma expressão para ψ a partir das velocidade v e u u = V .

Passo 2

Para descobrir as fórmulas das componentes da velocidade no eixo x u e no eixo y   v , derivamos parcialmente a função corrente ψ . E como fazemos o inverso? Ou seja, como descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ a partir das componentes da velocidade ( u e v )?

Para fazer esse caminho inverso, usamos o inverso da derivada: a integral! Em outras palavras, descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ , integrando as componentes da velocidade ( u e v ).

A primeira etapa para fazer isso é usar a fórmula de cálculo de u e v em função de ψ (equações 9-20 do livro) e substituir as equações de u e v dadas pelo enunciado.

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       V = ∂ ψ ∂ y       ⟹       ∂ ψ ∂ y = V

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       0 = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = 0

Passo 3

Agora vamos integrar a equação de u em relação a y e encontrar a função corrente ψ . Dizendo isso de outra forma, vamos pensar qual função que, ao ser derivada parcialmente em relação a y , seria igual a u   u = V .

∂ ψ ∂ y = V       ⟹       ∫ ∂ ψ ∂ y d y = ∫ V ⋅ d y       ⟹       ψ = V ⋅ y + g x

Depois da integração em y , encontramos que ψ é a soma entre um termo em função de y e uma função de x g ( x ) . Ou seja, a função, cuja derivada parcial em y vale V é a soma entre um termo em função de y V ⋅ y e outro em função de x g x . Mas por que tem uma função de x nessa integração, se só houve integração em relação à variável y ?

Isso ocorre, porque quando derivamos parcialmente a função ψ em relação a y , os termos que são funções de x g x são considerados constantes! Ou seja, g x nada mais é do que a constante de integração da integral em y !

Para achar g x , temos que derivar parcialmente em x a função ψ que encontramos.

Passo 4

Derivando parcialmente ψ , achamos que:

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x V ⋅ y + g x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = g ' x

onde g ' x é a derivada de g x .

Substituindo a fórmula de ∂ ψ ∂ x nessa equação:

g ' x   = ∂ ψ ∂ x     ⟹       g ' x   = 0

Agora podemos integrar essa derivada em relação a x para achar g x .

g ' x   = 0       ⟹       ∫ g ' x d x = C       ⟹       g x = C

onde C é uma constante de integração.

Substituindo isso na fórmula de ψ , achamos:

ψ = V ⋅ y + g x       ⟹       ψ = V ⋅ y + C

Isso quer dizer que para encontrar ψ , só precisamos achar C .

Passo 5

Para achar o valor de C , temos que lembrar que a função ψ vale zero para y igual a 0 ψ 0 = 0 .

ψ = V ⋅ y + C       ⟹       ψ 0 = V ⋅ 0 + C       ⟹       0 = C       ⟹       C = 0

Substituindo essa nova informação na equação de ψ , achamos:

ψ = V ⋅ y + C       ⟹       ψ = V ⋅ y + 0       ⟹       ψ = V ⋅ y

Passo 6

Com a equação de ψ nós somos capazes de achar o valor da vazão volumétrica por unidade de largura V ˙ / w que passa entre as linhas de corrente ψ 0 e ψ 2 . Fazemos esse cálculo adaptando a equação 9-25 do livro para o nosso caso. Essa equação se encontra abaixo.

V ˙ w = ψ 2 - ψ 0

Essa equação mostra que, para encontrar V ˙ w precisamos do valor de ψ 2 .

ψ 2 é obtido substituindo y = y 2 na equação de y .

ψ = V ⋅ y       ⟹       ψ 2 = V ⋅ y 2       ⟹       ψ 2 = 8,9 ⋅ 0,5       ⟹       ψ 2 = 4,45   m 2 / s

Substituindo esse novo valor na equação de V ˙ w , achamos o valor de V ˙ w .

V ˙ w = ψ 2 - ψ 0       ⟹       V ˙ w = 4,45 - 0       ⟹       V ˙ w = 4,45   m 2 / s

Resposta

ψ = V ⋅ y

V ˙ w = 4,45   m 2 / s

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