Enunciado

Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional do Problema 4-55. Usando os resultados do Problema 4-55 ( a ) faça o seguinte:

( a ) Da definição fundamental de taxa de rotação (taxa de rotação média de duas retas inicialmente perpendiculares que se cruzam em um ponto), calcule a taxa de rotação da partícula de fluido no plano x y , ω z . (Sugestão: Use os lados inferior e esquerdo da partícula de fluido, que se cruzam a 90 ° no canto inferior esquerdo da partícula no instante inicial.)

( b ) Compare seus resultados com aqueles obtidos pelas equações para ω z em coordenadas cartesianas, ou seja

ω z = 1 2   ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y

Passo 1

Para resolução da questão ( a ) iremos precisar da taxa de rotação nas coordenadas cartesianas, que pode ser expressa como sendo:

ω z = 1 2   ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y

A partir da definição fundamental da taxa de rotação no plano x - y , consideramos a borda inferior e a borda esquerda da partícula fluida, que se cruzam a 90 ° no canto inferior esquerdo no momento t .

Passo 2

Definimos o ângulo β , na figura abaixo, onde   β é o negativo do ângulo de rotação da borda esquerda da partícula do fluido (negativo porque a rotação é matematicamente positiva no sentido anti-horário).

Passo 3

A partir da trigonometria podemos calcular o ângulo β ...

 n g u l o   β   n o   t e m p o   t   +   d t :

β = arctan ⁡ b d y d t d y = arctan ⁡ b d t ≈ b d t                 ( 2 )

A aproximação é válida para ângulos muito pequenos. Como o intervalo de tempo d t   →   0 , logo a equação 2 está correta.

Enquanto isso, a borda inferior da partícula de fluido não girou. Assim, o ângulo médio de rotação dos dois segmentos de linha (arestas inferior e esquerda) no tempo t   +   d t é expresso como sendo:

A V G = 1 2 0 - β ≈ - b 2 d t                       ( 3 )

Passo 4

Assim, a taxa média de rotação durante o intervalo de tempo d t se torna...

ω z = d A V G d t = 1 d t - b 2 d t = - b 2                       ( 4 )

( b ) Portanto da equação 1, podemos obter a seguinte formulação:

ω z = 1 2 ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y = 1 2 0 - b = - b 2                 ( 5 )

Ambos os métodos para obter a taxa de rotação concordam (Eq. 4 e Eq. 5).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o problema 4 - 83 , exceto que a tinta é introduzida de t = 0 a t = 10 s e as linhas de emissão devem ser traçadas em t = 12s em vez de 10s .
Para o escoamento de Poiseuille bidimensional do Problema 4-79, calcule as taxas de deformação linear nas direções x e y e calcule a taxa de deformação por cisalhamento ε x y .
Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada no Problema 4-75. Seja B s i s o momento angular H → =r →× mV → de um sistema de partículas de fluido, onde r → é o braço do mom
Reduza ao máximo a seguinte expressão: F t = d d t ∫ x = A t x = B t e - 2 x 2 d x Sugestão: Use o teorema de Leibnitz unidimensional.
Considere o escoamento de Poiseuille com simetria axial completamente desenvolvido – o escoamento em um tubo redondo de raio R (diâmetro D = 2 R ), com um gradiente de pressão forçado d P / d x movend