Enunciado

Considere o campo de velocidade do Problema 2.20. Trace a linha de emissão formada por partículas que passaram pelo ponto ( 1 ,   1 ) durante o intervalo de tempo de t   =   0 a t   =   3   s . Compare com as linhas de corrente traçadas através do mesmo ponto nos instantes t   =   0 , 1 e 2   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que encontrar as as equações para trajetória na forma:

x p t = x t , x 0 , y 0 , t 0

y p ( t ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Onde x 0 , y 0 é a posição da partícula no instante t = t 0 . Com isso, temos:

x e t 0 = x t , x 0 , y 0 , t 0

y e ( t 0 ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Passo 2

Agora, para determinarmos a trajetória, vamos encontrar x ( t ) :

d x d t = u = B x 1 + A t v = d y d t = C y

Separando as variáveis e integrando:

ln ⁡ x x 0 = B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2   x = x 0 e B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2  

y = y 0 e C t - t 0    

Logo, as trajetórias são dadas por:

x t t = x 0 e B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2   y t ( t ) = y 0 e C t - t 0    

Passo 3

Agora, para a linha de emissão, temos:

x l e t = x 0 e B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2   y l e ( t ) = y 0 e C t - t 0    

Onde x 0 = y 0 = 0 . Logo:

x l e t 0 = u 0 t - t 0 y l e t 0 = v 0 sin ⁡ ω t 0 ( t - t 0 )

Passo 4

Por fim, temos que a equação das linhas de corrente são dadas por: v u = d y d x = C y B x 1 + A t 1 + A t d y y = C B d x x

Integrando:

1 + A t ln ⁡ y = C B ln ⁡ x + c y 1 + A t = c x C B  

Para a particula no ponto ( 1,1 ) no instante t = 0 , temos:

y = x

Já para t = 1   s :

y = x 2 3

E para t = 2   s :

y = x 1 2

Com isso, nosso gráfico fica assim:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Foram desenvolvidos muitos equipamentos comerciais e de laboratório para medir viscosidade, como descrevem as Referências 29 e 49 . Considere um eixo concêntrico, como no Problema 1.47 , mas agora fix
Um disco de raio R gira a uma velocidade angular Ω no interior de um reservatório em forma de disco cheio com óleo de viscosidade m, como mostra a Figura P 1.54 . Considerando um perfil linear de velo
Um viscosímetro simples mede o tempo t para que uma esfera sólida caia uma distância L no interior de um fluido de teste, de massa específica r . A viscosidade μ do fluido é dada então por μ ≈ P l i q
Uma placa fina está separada de duas placas fixas por líquidos muito viscosos com m 1 e m 2 , respectivamente, como mostra a Figura P 1.48 . Os espaçamentos h 1 e h 2 entre as placas não são iguais, c
O exemplo do escoamento laminar em tubo do Problema 1.12 pode ser usado para projetar um viscosímetro capilar. Se Q é a vazão em volume, L é o comprimento do tubo e Δ p é a queda de pressão da entrada