Enunciado

Um tubo de ensaio é girado em uma centrifuga. O suporte do tubo é montado em um pivô de modo que o tubo báscula para fora à medida que a rotação aumenta. Para altas velocidades, o tubo fica aproximadamente na horizontal. Encontre (a) uma expressão para a componente radial da aceleração de um elemento líquido localizado no raio r , (b) o gradiente de pressão radial d p / d r e (c) a velocidade angular requerida para gerar uma pressão de 250   M P a no fundo de um tubo de ensaio contendo água. (A superfície livre e o fundo do tubo têm raios de giro de 50 e 130   m m , respectivamente.)

Passo 1

Neste probleminha nós temos um tubo de ensaio com água girado em uma centrífuga. O objetivo é encontrar a aceleração radial, o gradiente de pressão radial e a velocidade de rotação necessária para gerar pressão de 250 MPa na parte inferior do tubo.

Para resolvermos precisamos aplicar as equações hidrostáticas:

- ∇ p + ρ g → = p a →

- ∂ p ∂ r + ρ g r = ρ a r , equação hidrostática na direção radial

Como todo problema de mecFlu, fazemos as seguintes considerações: Fluido incompressível; movimento rígido do corpo; e a direção radial é horizontal.

Passo 2

Para movimentos rígidos do corpo:

a = - V 2 r = - r ω 2 r = - r ω 2

Como r é horizontal: g r = 0 . Por isso, a equação passa a ser:

∂ p ∂ r = ρ r ω 2

Podemos resolver essa expressão separando variáveis e integrando:

∆ p = ρ ω 2 ∫ r 1 r 2 r d r

Resolvendo a integral, temos:

∆ p = ρ ω 2 2 ( r 2 2 - r 1 2 )

Isolando a frequência:

ω = 2 ∆ p ρ ( r 2 2 - r 1 2 )

Substituindo valores na expressão:

ω =   2 × 250 × 10 6 N m 2 999 k g m 3 [ 130 × 10 - 3 2 - 50 × 10 - 3 2 ] × k g   m N   s × r e v 2 π r a d

ω = 938   H z

Prontinho!!

Resposta

ω = 938   H z

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