Enunciado

Considere uma casa de tijolos ( k   =   0,72   W / m . K   e   α   =   0,45 x 10 - 6 m ² / s ) cujas paredes têm 10 metros de comprimento, 3 mentros de altura e 0,3 metros de espessura. O aquecedor da casa quebrou à noite, e toda a casa, incluindo as paredes, chegou a 5 °C de manhã. O lado externo aquecia à medida que o dia passava, mas nenhuma mudança foi sentida na casa, que foi hermeticamente fechada. Partindo do princípio de que a temperatura da superfície externa da casa se manteve constante a 18 °C, determine quanto tempo seria necessário para a temperatura interna das paredes subir para 5,1 °C.

Passo 1

Vou analisar o enunciado junto com você pra gente entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, vamos pensar no que tá acontecendo.

Num primeiro momento, uma parede de tijolos é mantida a 5 ° C no começo do dia, até que uma temperatura de 18 ° C é aplicada no exterior da casa, sem nenhuma influência na temperatura no seu interior.

Essa é exatamente a definição de um sólido semi-infinito: analisar a transferência de calor “penetrando” num corpo em um curto período de tempo no qual a condição de contorno na sua superfície não interfere na outra extremidade.

Então, como estamos analisando um sólido semi-infinito submetido a uma condição de temperatura conhecida na superfície, vamos usar a equação:

T x , t -   T i T S -   T i = e r f c x 2 α t

E o que exatamente esse problema quer que você resolva? Simples, ele quer saber qual o tempo máximo que vamos poder analisar esse corpo como um sólido semi-infinito, que vai ser quando ele começar a sofrer uma mudança de temperatura e chegar a 5,1 ° C na extremidade a 0,3 m da superfície.

Agora eu quero terminar esse primeiro passo organizando as variáveis que vamos utilizar nesse problema pra você não se confundir:

T i = 5   ° C T S = 18   ° C T 0,3 , t =   5,1   ° C α   =   0,45 x 10 - 6 m ² / s

Passo 2

Se você chegou até aqui esse passo é bem fácil, basta substituir as variáveis na equação que eu te mostrei no Passo 1, com x   =   0,3   m .

T 0,3 , t -   T i T S -   T i = e r f c x 2 α t →   5,1   ° C -   5   ° C 18   ° C -   5   ° C = e r f c 0,3 2 ( 0,45 x 10 - 6 m ² / s ) t  

Assim, obtemos:

e r f c 0,3 2 ( 0,45 x 10 - 6 m ² / s ) t = 0,00769

Devemos calcular o valor inverso da função erro complementar indo na Indo na Tabela 4-4 (página 251). Assim, pela tabela:

e r f c 1,86   = 0,00784

Então podemos aproximar nossa função inversa para esse valor, de onde obtemos:

0,3 2 ( 0,45 x 10 - 6 m ² / s ) t = 1,88  

Podemos explicitar o valor de t :

t =   0,3 ( 1,88 ) ( 2 ) ( 0,45 x 10 - 6 m ² / s )

Elevando ambos os lados ao quadrado:

t =   0,3 ( 1,88 ) ( 2 ) ( 0,45 x 10 - 6 m ² / s ) 2 = 14146,67   s = 3,93   h

Resposta

Vai levar aproximadamente 4 horas para que a parte interna da casa comece a esquentar por conta da temperatura externa.

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