Enunciado

Revestimentos especiais são frequentemente formados pela deposição de finas camadas de um material fundido sobre um substrato sólido. A solidificação tem início na superfície do substrato e prossegue até que a espessura S da camada solidificada se torne igual à espessura δ do depósito.

(a) Considere condições nas quais material fundido, à sua temperatura de fusão T f , é depositado sobre um grande substrato que se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme T i . Com S   =   0 em t   =   0 , desenvolva uma expressão para estimar o tempo t d necessário para solidificar completamente o depósito, considerando que ele permanece à temperatura T f durante todo o processo de solidificação. Expresse o seu resultado em termos da condutividade térmica e da difusividade térmica do substrato ( k s   ,   α s ) , da massa específica e do calor latente de fusão do depósito ( ρ ,   h s f ) , da espessura do depósito δ e das temperaturas relevantes ( T f ,   T i ) .

(b) O processo de deposição por pulverização de plasma descrito no Problema 5.25 é usado para aplicar um fino revestimento ( δ   =   2   m m ) de alumina sobre um espesso substrato de tungstênio. O substrato apresenta uma temperatura inicial uniforme T i   =   300   K , e as suas condutividade térmica e difusividade térmica podem ser aproximadas por k s   =   120   W / ( m   ·   K ) e α s   =   4,0   ×   10 - 5   m 2   / s , respectivamente. A massa específica e o calor latente de fusão da alumina são ρ   =   3970   k g / m 3 e h s f =   3577   k J / k g , respectivamente, e a alumina se solidifica na sua temperatura de fusão ( T f   =   2318   K ) . Supondo que a camada fundida seja depositada instantaneamente sobre o substrato, estime o tempo necessário para o depósito se solidificar.

Passo 1

Vamos para mais uma questão? \o/. Aqui nós temos a espessura e propriedades do revestimento líquido depositado em um substrato metálico. Além da temperatura inicial e propriedades do substrato.

Com isso, precisamos encontrar a expressão do tempo necessário para solidificar completamente o líquido e o tempo necessário para solidificar um revestimento de alumina. Mas para isso, vamos precisar fazer algumas considerações.

Passo 2

Para resolver, vamos assumir que:

(1) O substrato pode ser aproximado como um meio semi-infinito no qual há condução dimensional;

(2) As camadas de alumina sólida e líquida permanecem à temperatura de fusão durante a solidificação (resistência insignificante à transferência de calor por condução através de sólido);

(3) A resistência de contato na interface revestimento / substrato é desprezível;

(4) A contração da solidificação é desprezível;

(5) As propriedades são constantes.

Na letra (a) queremos a expressão do tempo necessário para solidificar completamente o líquido. Ao realizar um balanço de energia na camada sólida, cuja espessura S aumenta com t , o calor latente liberado na interface sólido / líquido deve ser balanceado pela taxa de condução de calor no sólido. Então, por unidade de superfície, temos que:

ρ h s f d S d t = q c o n d ' '

Onde,

q c o n d ' ' = k T f - T i π α t 1 2

Passo 3

A partir das expressões acima, temos que:

ρ h s f d S d t = k s T f - T i π α s t 1 2

Integrando em S ,

∫ 0 δ   d S = k s T f - T i ρ h s f π α s 1 2 ∫ 0 t   d t t 1 2

δ = 2 k s π α s 1 2 T f - T i ρ h s f t 1 2  

Isolando o t:

t = π α s 4 k s 2 δ ρ h s f T f - T i 2

Passo 4

Para a letra (b) queremos o tempo necessário para solidificar um revestimento de alumina. Então vamos substituir os valores na expressão encontrada na letra (a).

t = π 4,0   ×   10 - 5 m 2 s 4 120 W m   ·   K 2 0,002 m × 3970 k g m 3 × 3,577 × 10 6 J k g 2018   K 2  

t = 0,43

Resposta

  1. t = π α s 4 k s 2 δ ρ h s f T f - T i 2
  2. t = 0,43
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