Enunciado

Considere um cilindro de densidade d < 1 flutuando verticalmente na água ( d = 1 ) , como na Figura P2.127. Deduza uma fórmula para os valores estáveis de D / L em função de d e aplique-a ao caso D / L = 1,2 .

Passo 1

Fala galera, vem comigo resolver essa questão!!

Queremos aqui encontrar uma fórmula para os valores estáveis de D / L em função de d , em que esse d é a densidade relativa do cilindro. Para isso, podemos começar usando a ideia de que as forças que atuam verticalmente o mantém em equilíbrio, ou seja, a soma das forças é igual a zero. Assim temos:

ρ á g u a g V d e s l o c a d o = ρ c i l i n d r o g V c i l i n d r o

ρ á g u a V d e s l o c a d o = d ρ á g u a V c i l i n d r o

V d e s l o c a d o = d V c i l i n d r o

π 4 D 2 h = d π 4 D 2 L

h = d L

Passo 2

Para encontrarmos o que estamos procurando, podemos usar a formula 2.37:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

Em que G é o centróide, M é o metacentro, E é o centro de flutuabilidade, I O é o momento de inércia e v s u b m e r s o é o volume submerso. Para um cilindro o momento de inercia é dado por:

I O = π 4 R 4 = π 4 D 2 4

O volume submerso para essa questão é:

v s u b m e r s o = π 4 D 2 h = π 4 D 2 d L

Para a estabilidade de massa, temos que:

M G - = 0

O centro de gravidade está em L / 2 acima do fundo e E está em h / 2 acima do fundo. Para essa questão a distancia G E - é dada por:

G E - = L 2 - h 2 = L 2 - d L 2 = L 1 - d 2

Passo 3

Agora que temos todos os dados, vamos substituir na equação 2.37.

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

π 4 D 2 4 π 4 D 2 d L = 0 + L 1 - d 2

D 2 16 d L = L 1 - d 2

D 2 L 2 = 8 d 1 - d

D L = 8 d 1 - d

Passo 4

Com o resultado encontrado, vamos aplicar para o caso onde D / L = 1,2 . Assim, temos que:

D L 2 = 8 d 1 - d

0,18 = d - d 2

d 2 - d + 0,18 = 0

Se usarmos a formula de Bhaskara, vamos encontrar que

d = 0,235

d = 0,765

Resposta

D L = 8 d 1 - d

d = 0,235

d = 0,765

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