Enunciado

Considere que o balão do Problema P2.111 seja construído para ter um diâmetro de 14   m , cheio ao nível do mar com ar quente a 70 ℃ e 1   a t m , e seja liberado. Se o ar dentro do balão permanecer constante e o aquecedor mantiver a temperatura de 70 ℃ , em que altitude na atmosfera padrão dos Estados Unidos esse balão flutuará neutramente?

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver essa questão comigo??

Antes de tudo, vamos pegar os dados fornecidos e retirados do problema P2.111;

Massa do balão: m = 60   g / m 2 = 0,06   k g / m 2

Gravidade: g = 9,81   m / s 2

Diâmetro do balão: D = 14   m

Raio do balão: r = 7   m

Temperatura do ar dentro do balão: T = 70 ℃ = 343   K

Pressão: P = 1 a t m = 101350   P a

Passo 2

Nessa questão, queremos encontrar a altitude na atmosfera padrão dos Estados Unidos que o balão flutuará sem que ele mude sua altitude. Para isso, podemos usar a ideia de que as forças que atuam verticalmente no balão o mantém em equilíbrio, ou seja, a soma das forças é igual a zero.

Passo 3

Para encontrar o que procuramos, podemos obter a densidade do ar quente no balão a 1   a t m e 70 ℃ . Para o ar seco, pela Tabela A.4, R =   287   m 2 / ( s 2 ⋅ K ) . Portanto:

ρ a r = p R T = 101350   P a 287   m 2 / ( s 2 ⋅ K )   ⋅ 343   K = 1,03   k g / m 3

Passo 4

A partir da soma as forças verticais no equilíbrio, apenas a densidade do ar externo é desconhecida. Temos o seguinte:

∑ F z = B a r - W a r   q u e n t e - W b a l ã o

0 = ρ a r g V b a l ã o - ρ a r   q u e n t e g V b a l ã o - m g A b a l ã o

Aqui, V b a l ã o é o volume do balão, A b a l ã o é a área do balão e g é agravidade. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

0 = ρ a r 9,81 4 π 3 7 3   - 1,03 ⋅ 9,81 4 π 3 7 3 - 0,06 ⋅   9,81 ⋅ 4 π 7 2

0 = 14094,57   ρ a r   - 14879,83  

14094,57   ρ a r = 14879,83

ρ a r   = 1,056   k g / m 3

Passo 5

Podemos encontrar a altitude a partir da Tabela A-6. Para a densidade do ar 1,056     k g / m 3 a altitude correspondente é de aproximadamente 1500   m .

z = 1500   m

Resposta

z = 1500   m

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