Enunciado

A comporta ABC é um arco de círculo, às vezes chamada de comporta Tainter, que pode ser elevada e abaixada pivotando em torno do ponto O. Veja a Figura P2.88. Para a posição mostrada, determine (a) a força hidrostática da água sobre a comporta e (b) sua linha de ação. A força passa pelo ponto O?

Passo 1

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A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma comporta no formato de um arco de círculo, com um raio de 6   m e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) não especificada que iremos considerar b =   1   m .

A questão quer da gente a força hidrostática F que age sobre a comporta, além de perguntar se sua linha de ação passa pelo ponto O .

Para responder esses questionamentos, teremos que calcular as componentes horizontal ( F H ) e vertical ( F V ) dessa força nos próximos passos.

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base b = 1   m e altura 6   m . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 6 2   m   6   m × 1   m = 176.220   N  

Além disso, devemos calcular a linha de ação da componente horizontal da força, que podemos chamar de l H . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:

l H = h C G + I x x s e n θ h C G A p r o j

Sendo: θ o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e I x x o momento de inércia para essa direção.

O momento de inércia I x x de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :

I x x = b L 3 12

Sendo: b a largura do retângulo , ou seja, 50   m ; e L a altura do retângulo, que nesse caso é 20 m. Logo:

I x x = b L 3 12 = 1   m 6   m ³ 12 = 18   m 4

Calculando então a linha de ação, temos:

l H = 3   m + 18   m 4 s e n ( 90 ° )   3 m 6   m × 1   m 3   m + 1   m = 4   m

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V .

Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir da do que se chama peso da água “ausente”, ou seja, o peso que a água exerceria se o segmento de círculo estivesse preenchido com o fluido. A força F V age justamente de maneira a compensar esse peso ausente.

Pra entender melhor, veja a figura aí embaixo:

Note que para este tipo de aplicação, a componente vertical da força hidrostática irá apontar para cima.

Para prosseguir com nossos cálculos, iremos precisar calcular a área do segmento de círculo A S C . Para isso, considere a imagem abaixo:

Seja R o raio do segmento de círculo e c = R 2 - 2 cos ⁡ θ é o comprimento da corda. Para a comporta do problema, sabemos que R = 6   m e c = 6   m também. Desta maneira, podemos descobrir o ângulo θ :

6 = 6 2 - 2 cos ⁡ θ   → cos ⁡ θ = 1 2   → θ = 60 °   o u   1,0472   r a d  

A área A S C , por definição, é calculada como:

A S C = R 2 2 θ - sen ⁡ θ = ( 6   m ) ² 2 1,0472 - 0,866 = 3,262   m ²  

Agora sim, podemos calcular F V :

F V = γ A S C b = 9790   N m 3 3,262   m ²   1   m =     31 . 935   N

Pra calcular a linha de ação para a componente vertical, temos que saber que o centroide de um segmento de círculo é dado por 4 R 3 sin ³ ⁡ θ / 2 θ - sin ⁡ θ . Sendo assim:

l V = R -   4 R 3 sin 3 ⁡ θ 2 θ - sin ⁡ θ = 0,4804   m    

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos calcular a resultante da força hidrostática e sua linha de ação.

Primeiro, com as duas componentes F H e F V encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante F   a partir do módulo dessas componentes:

F =   F H 2 + F V 2 = 176.220   N 2 + 31.935   N 2 = 179.090   N

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo α entre F H (eixo horizontal) e F :

t g α = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = F V F H = 31.935   N   176.220   N = 0,1812  

→   α = a r c t g 0,1812 = 10,27 °

Com esse resultado, vamos olhar a imagem abaixo, já em escala com relação às distâncias e ângulo aqui calculados:

Como vocês podem perceber, a linha de ação da força F faz um ângulo de 10,27 ° com a horizontal, e passa pelos pontos 1   m abaixo e 0,4804   m à direita do ponto B , ou seja, onde passam as linhas de ação de suas componentes.

Como é possível perceber pela figura, sim, a linha de ação de F passa pelo ponto O .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A força hidrostática da água sobre a comporta é F = 179.090   N

(b) A linha de ação faz um ângulo de 10,27 ° com a horizontal, e passa pelos pontos 1   m abaixo e 0,4804   m à direita do ponto B , além de passar pelo ponto O .

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