Enunciado

70 - Considere condições nas quais um termômetro de mercúrio com bulbo de vidro, com 4   m m de diâmetro, é inserido até um comprimento L através da parede de um duto, através do qual ar escoa a 77 ℃ . Se a haste do termômetro em contato com a parede do duto estiver à temperatura da parede, T p = 15 ℃ , condução térmica através do vidro faz com que a temperatura no bulbo seja inferior àquela na corrente de ar.

(a) Desenvolva uma relação para o erro de imersão, Δ T i =   T ( L )   –   T ∞ , como uma função da velocidade do ar, do diâmetro do termômetro e do comprimento de inserção L .

(b) Até qual comprimento L deve o termômetro ser inserido para que o erro devido à imersão não ultrapasse 0,25 ℃ , quando a velocidade do ar for de 10   m / s ?

(c) Usando o comprimento de inserção determinado na parte (b), calcule e represente graficamente o erro de imersão em função da velocidade do ar na faixa entre 2 e 20   m / s .

(d) Para um dado comprimento de inserção, o erro de imersão irá aumentar ou diminuir se o diâmetro do termômetro for aumentado? O erro de imersão é mais sensível a variações no diâmetro do termômetro ou na velocidade do ar?

Passo 1

Antes de prosseguir, precisamos calcular a temperatura de filme:

T f = T s + T ∞ 2

= 15 + 77 2

= 46   ℃ ≈ 320   K

Para a temperatura de 300   K vamos obter o valor da condutividade térmica do vidro por meio da tabela A . 3 (Propriedades termo físicas de materiais comuns (Outros materiais)). Temos:

k g = 1,4   W / m ⋅ K

Para o ar atmosférico à temperatura de T f = 320   K obtenha na tabela A.4 (Propriedades termo físicas de materiais comuns (Outros materiais)). Temos por interpolação entre 300   K e 350   K :

v = 17,90 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,704

k = 0 , 0278     W / m ⋅ K

Passo 2

Suponha que o termômetro seja uma aleta unidimensional (de vidro) com uma ponta adiabática.

Escreva a relação para a aleta unidimensional com uma ponta adiabática (termômetro de vidro).

T L - T ∞ T b - T ∞ = 1 cosh ⁡ ( m L )

Aqui,  T ∞ é a temperatura do ar, a temperatura do bulbo é T b T ( L ) é a temperatura do termômetro no comprimento inserido,  L é o comprimento e  m é a constante.

A equação anterior pode ser escrita da seguinte maneira.

T L - T ∞ = T b - T ∞ cosh ⁡ ( m L )

∆ T i = T b - T ∞ cosh ⁡ ( m L ) … … ( 1 )

Aqui, ∆ T i é o erro de imersão.

Passo 3

Escreva o coeficiente médio de transferência de calor por convecção da relação usando a correlação de Hilbert para o cilindro circular no fluxo cruzado.

h = k D N u D

= k D C R e D m P r 1 3

= k D C V D v m P r 1 3

= k P r 1 2 v m C V m D n - 1

Podemos rescrever a equação anterior da seguinte maneira:

h = N ⋅ V m ⋅ D n - 1

Passo 4

Escreva a relação para constante  m .

m = h p k g A c

m 2 = 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2  

m = 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2 1 2

Aqui,  A c é a área da seção transversal, o  h é o coeficiente médio de calor por convecção,  k g é a condutividade térmica do termômetro de vidro e o  P é o perímetro.

Substituindo esse valor de m na equação ( 1 ) .

∆ T i = T b - T ∞ cosh ⁡ 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2 1 2 L … . .   ( 2 )

Portanto, a relação do erro de imersão  ∆ T i = T L - T ∞ , em função da velocidade do ar, diâmetro do termômetro e comprimento de inserção  L é:

∆ T i ( V , D , L ) = T b - T ∞ cosh ⁡ 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2 1 2 L

Passo 5

b)

Calcule o número de Reynolds.

R e D = V D v

Aqui,  V é a velocidade do ar, D é o diâmetro do termômetro de mercúrio em vidro e  v é a viscosidade cinemática do ar.

= 10 × 4 × 10 - 3 17,9 × 10 - 6

= 2235

Passo 6

Obtenha as constantes  C m para o termômetro de vidro da Tabela  7.2 (constantes de equações  7,52 para o cilindro circular em fluxo cruzado para o número de Reynolds  2235 que está na faixa  40 - 4000 .

O valor da constante  C :

C = 0,683

O valor da constante  m :

m = 0,466

Calcule o valor de  N .

N = k P r 1 3 V m C  

Aqui,  k é a condutividade térmica do ar, P r é o número de Prandtl,  C é constante,  m é constante e  v é a viscosidade cinemática do ar.

= 0,0278 × 0,704 1 3 17,9 × 10 - 6 0,466 × 0,683

= 4,033 × 0,683

= 2,753

Passo 7

Calcule o comprimento  L que o termômetro deve ser inserido.

∆ T i = T b - T ∞ cosh ⁡ 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2 1 2 L

- 0,25 = 288 - 350 cosh ⁡ 4 1,4 × 2,753 10 0,466 × ( 4 × 10 - 3 ) 0,466 - 2 1 2 L

- 0,25 = - 62 cosh ⁡ { 7,87 × 2,924 × 4769,14 1 2 L }

cosh ⁡ 332,2 L = 248

Resolvendo a equação anterior para  L , o seguinte valor é obtido.

332,2 L = cosh - 1 ⁡ ( 248 )

332,2 L = 6,207

= 0,0187   m

Portanto, o comprimento  L deve ser inserido, se o erro de imersão não é superior a  0,25   ℃ , quando a velocidade do ar é  10   m / s é 0,0187   m .

Passo 8

c) Esta subparte pode ser resolvida usando apenas o software.

Passo 9

d)

Se o diâmetro do termômetro for aumentado, o erro de imersão é aumentado para um determinado comprimento de inserção.

Para a equação ( 2 ) , é obtida a seguinte relação.

∆ T i ~ 1 cosh ⁡ A ⋅ D m - 2 1 2

Aqui,  A é constante, dependendo das variáveis ​​diferentes de  D .

Portanto, o erro de imersão aumentara se o diâmetro do termômetro for aumentado.

A partir da equação (2), é obtida a seguinte relação.

∆ T i ~ 1 cosh ⁡ B ⋅ V m 2

Aqui,  m é constante e  B é constante, dependendo das variáveis ​​diferentes de  V .

∆ T i ~ 1 cosh ⁡ { B ⋅ V 0,466 2 }

~ 1 cosh ⁡ { B ⋅ V 0,233 }

Com base nos expoentes da velocidade e diâmetro do ar, o diâmetro é mais sensível ao erro de imersão.

Portanto, o erro de imersão é mais sensível ao diâmetro.

Resposta

  1. ∆ T i ( V , D , L ) = T b - T ∞ cosh ⁡ 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2 1 2 L
  2. ∆ T i ( V , D , L ) = T b - T ∞ cosh ⁡ 4 k g N ⋅ V m ⋅ D m - 2 1 2 L
  3. Esta subparte pode ser resolvida usando apenas o software 
  4. O erro de imersão aumentara se o diâmetro do termômetro for aumentado e o erro de imersão é mais sensível ao diâmetro.
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