Enunciado

Considere condução unidimensional, em regime estacionário, no objeto axissimétrico mostrado a seguir, que está isolado termicamente ao longo de seu perímetro.

Se as propriedades permanecerem constantes e não ocorrer geração interna de calor, esboce a distribuição de fluxos térmicos, q ' ' ( x ) , e a distribuição de temperaturas, T(x). Explique as formas das curvas propostas. Como as suas curvas dependem da condutividade térmica do material?

Passo 1

Beleza galerinha, vamos lá! Para as condições prescritas, resulta da conservação de energia, Eq. 1.12c, que para um volume de controle diferencial:

E i n = E o u t

Ou,

q x = q x + d x

Passo 2

Isso significa que q x é independente de x . Portanto,

q x = q x   ' ' A c = c o n s t a n t e

onde A c é a área da secção transversal perpendicular à direcção x. Portanto, o fluxo de calor deve ser inversamente proporcional à área da secção transversal. O raio do objeto primeiro aumenta e depois diminui linearmente com x , então a área da seção transversal aumenta e depois diminui como x 2 . A distribuição do fluxo de calor resultante é esboçada abaixo.

Passo 3

Para encontrar a distribuição da temperatura, podemos usar a lei de Fourier:

q x ' ' = - k d T d x

Portanto, o gradiente de temperatura é negativo e sua magnitude é proporcional ao fluxo de calor. A temperatura diminui mais rapidamente onde o fluxo de calor é maior e mais lentamente onde o fluxo de calor é menor.

Resposta

F l u x o   d e   c a l o r   t e m   m í n i m o   e m   x   ( s i m é t r i c o )

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