Enunciado

Considere o desenvolvimento do escoamento de Couette — 0 mesmo escoamento do Problema 7-52, exceto que o escoamento ainda não é em regime permanente, mas está se desenvolvendo com o tempo. Em outras palavras, o tempo t é um parâmetro adicional do problema. Gere uma relação adimensional entre todas as variáveis.

Passo 1

O que o enunciado ta pedindo é que a gente refaça o exercício anterioro e adicione o tempo, t como variável relevante.

Mas isso significa que a gente tem que fazer tuuuudo de novo?!

Talvez!

Para que a gente aproveite a resolução do exercício anterior, j deve permanecer igual.

No exercício anterior vimos que j = 3 porque as dimensões básicas utilizadas foram 3 ( m ,   L , t ) , vamos adicionar uma nova variável que é o tempo, a dimensão de tempo é t . Ou seja, ela já foi utilizada no exercício anterior, então j permanece igual e podemos aproveitar a resolução do exercício anterior!

Só temos que continuar com as mesmas variáveis repetidas, beleza?

E só por curiosidade, quando que a gente NÃO poderia fazer isso??

Se a gente quisesse adicionar a variável temperatura, por exemplo, porque passariamos a ter as dimensões básicas m , L ,   t   e   T e j = 4 .

Passo 2

Essa é a lista de parâmetros relevantes da questão anterior:

u = f ( μ ,   V , h ,   ρ ,   y ) n = 6

Adicionando t :

u = f ( μ ,   V , h ,   ρ ,   y , t ) n = 7

j   continua j = 3 , mas n mudou, logo pelo Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j = 7 - 3 = 4

As variáveis repetidas devem ser iguais! Elas são:

h , V   e   ρ

Passo 3

emos 4 grupos π , mas 3 deles a gente já achou no exercício anterior, eles são:

π 1 = u V

π 2 = μ x V ρ = R e

π 3 = y h

E agora:

π 4 = t × h a × V b × ρ c

Vamos achar ele então!

Passo 4

π 4 = 1 = ( t ) × h a × ( V ) b × ρ c }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 4 = m 0 L 0 t 0 = { ( t 1 ) × L 1   a × L 1 t - 1 b × m 1 L - 3 c }

Equacionando:

Massa:

m 0 = m c

c = 0

Comprimento:

L 0 = L a × L b × L - 3 c

0 = a + b - 3 c

0 = a + b - 0

Tempo:

t 0 = t 1 × t - b

0 = 1 - b

b = 1

Logo:

0 = a + b - 0

a = - 1

Substituindo a , b e c , temos:

π 4 = { ( t ) × h - 1 × ( V ) 1 × ρ 0 }

Organizando:

π 1 = t × V h

Passo 5

Agora vamos escrever a relação entre os grupos π :

u V = f μ x V ρ , y h , t V h

Ou:

u V = f R e , y h , t V h

Prontinhoo!

Resposta

u V = f R e , y h , t V h

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