Enunciado

Considere o escoamento de Couette completamente desenvolvido — o escoamento entre duas placas paralelas infinitas separadas pela distância h , com a placa superior se movendo e a

placa inferior fixa, como ilustra a Figura P7-52. O escoamento é em regime permanente incompressível e bidimensional no plano x y . Use o método das variáveis repetidas para gerar uma relação adimensional para a componente x da velocidade do fluido u como função da viscosidade do fluido μ , da velocidade da placa superior V , da distância h , da densidade do fluido ρ e da distância y . Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Vamos lá! A gente vai usar análise dimensional para achar a relação entre a velocidade no eixo x , u com os parâmetros independentes que o enunciado deu pra a gente!

Como o enunciado já deu pra a gente todos os parâmetros relevantes, então não precisa se assustar caso você não saiba o que é um escoamento de Couette, o que a gente precisa fazer aqui é pegar os dados do enunciado e seguir o passo a passo do método das variáveis repetidas!

Então vamos começar com o primeiro passo que é listar os parâmetros relevantes!

u = f ( μ ,   V , h ,   ρ ,   y )

Temos então 5   parâmetros relevantes!!

n = 6

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

u = L 1 t - 1 ; μ = m - 1 L - 1 t - 1 ; V = L 1 t - 1 ;

h = L 1 ;   ρ = m 1 L - 3 ; y = L 1

Passo 3

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j

O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 6 !

Substituindo:

k = 6 - 3 = 3

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 3. Então vamos atrás deles!!

Passo 4

Já que vamos considerar j = 3 precisamos encontrar nossos três parâmetros repetidos!

Relembrando nossos parâmetros:

u = f ( μ ,   V , h ,   ρ ,   y )

De cara a gente já sabe que u a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente!

h e y tem a mesma dimensão, só podemos escolher um deles, além disso a V tem a mesma dimensão que u , então se não escolhermos V vamos ter dois números π idênticos, sabendo disso vamos escolher :

h , V   e   ρ

μ é uma escolha possível, mas como os parâmetros que a gente escolheu tem menos dimensões básicas, eles são mais aconselháveis!

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π !!

Começando com o π 1 que vai ser o π dependente!!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = 1 = ( u ) × h a × ( V ) b × ρ c }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { ( L 1 t - 1 ) × L 1   a × L 1 t - 1 b × m 1 L - 3 c }

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m c

c = 0

Comprimento:

L 0 = L 1 × L a × L b × L - 3 c

0 = 1 + a + b - 3 c

0 = 1 + a + b - 0

Tempo:

t 0 = t - 1 × t - b

0 = - 1 - b

b = - 1

Logo:

0 = 1 + a + b - 0

a = 0

Substituindo a , b e c , temos:

π 1 = { ( u ) × h 0 × ( V ) - 1 × ρ 0 }

Organizando:

π 1 = u V

Agora vamos achar π 2 , esse vai ser nosso π independente combinando as nossas variáveis repetidas com μ :

π 2 = 1 = { ( μ ) × h d × ( V ) e × ρ f }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 2 = m 0 L 0 t 0 = { ( m 1 L - 1 t - 1 ) × L 1   d × L 1 t - 1 e × m 1 L - 3 f }

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m 1 × m f

0 = 1 + f

f = - 1

Comprimento:

L 0 = L - 1 × L d × L e × L - 3 f

0 = - 1 + d + e - 3 f

0 = - 1 + d + e + 3

Tempo:

t 0 = t - 1 t - e

0 = - 1 - e

e = - 1

Logo:

0 = - 1 + d + e + 3

0 = - 1 + d - 1 + 3

d = - 1

Substituindo temos:

π 2 = { ( μ ) × x - 1 × ( V ) - 1 × ρ - 1 }

Organizando:

π 2 = μ x V ρ

Esse é o número de Reynolds!!!

E agora, o π 3 , dessa vez em usando y :

π 3 = 1 = { ( y ) × h g × ( V ) h × ρ i }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 3 = m 0 L 0 t 0 = { ( L 1 ) × L 1   g × L 1 t - 1 h × m 1 L - 3 i }

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m i

0 = i

Comprimento:

L 0 = L 1 × L g × L h × L - 3 i

0 = 1 + g + h - 3 i

0 = 1 + g + h - 0

Tempo:

t 0 = t - h

0 = - h

h = 0

Logo:

0 = 1 + g + h

0 = 1 + g + 0

g = - 1

Substituindo temos:

π 3 = { ( y ) × h - 1 × ( V ) 0 × ρ 0 }

Organizando:

π 3 = y h

Passo 6

Agora vamos finalmente escrever a relação entre os grupos π :

u V = f μ x V ρ , y h

Ou:

u V = f R e , y h

Aweeee!

Resposta

u V = f R e , y h

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