Enunciado

Considere um escoamento na camada limite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 5   m / s , porém considerando que a base da placa está de frente para o escoamento. Você esperaria que o arrasto neste caso fosse maior, igual, ou menor do que o arrasto para o Problema 9.42?

Passo 1

O enunciado diz que o escoamento é laminar, e pede para calcularmos a força de arrasto. Como ele é laminar em uma placa plana, valem as relações:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

Ele também dá ums informações importantes:

Triângulo de lado a = 50   c m

Velocidade de corrente livre: U = 5   m / s

Temos o ar a 20 ° C ,   101,3 k P a , o que implica em ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Ele pede para refletirmos sobre a diferença na força de arrasto quando a base do triângulo é por onde fluxo passa primeiro. Ou seja, quando a gente tem isso aqui:

Vamos ver o que acontece!

Passo 2

A força total de arrasto pode ser definida como:

F D = ∫ τ w d A

Então precisamos de uma expressão para τ w .

Como a gente encontra isso? Usando as equações da camada limite:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

0,730 ρ U x μ = τ w 1 2 ρ U 2 ∴ τ w = 0,730 μ U ρ x ⋅ 1 2 ρ U 2 = 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2

Uhul! Conseguimos!

Passo 3

Agora, começamos a montar a nossa integral:

F D = ∫ τ w d A

Repara que a nossa largura muda conforme andamos na direção do fluxo, isso é, conforme variamos x . Por isso, podemos escrever:

d A = w ( x ) d x

Como achamos essa largura w ( x ) em função de x ? Temos que:

w 0 = a ,   w L = 0

Onde L = a 3 2 é o comprimento percorrido pelo fluído na placa.

A função linear que satisfaz essas duas condições é:

w x = a 1 - x L

Reescrevendo:

d A = w x d x ∴ d A = a 1 - x L d x

Sabendo que 0 < x < L :

F D = ∫ 0 L 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2 a 1 - x L d x = 0,365 a μ ρ U 3 ⋅ ∫ 0 L x - 1 2 - x 1 2 L d x

F D = 0,365 a μ ρ U 3 ⋅ 2 L - 2 3 L 3 2 L = 0,365 a μ ρ U 3 ⋅ 4 3 L

Passo 4

Substituindo os dados do problema: F D = 0,365 a μ ρ U 3 ⋅ 4 3 L = 0,487 a μ ρ U 3 L

L = a 3 2 = 0,4330

F D = 0,487 ⋅ 0,5 1,81 ⋅ 10 - 5 ⋅ 1,21 ⋅ 5 3 ⋅ 0,433 = 8,4 ⋅ 10 - 3 N

Isso se a gente pensar na força em um lado só da placa. Pensando na força aplicada em ambos os lados, é só multiplicar por 2 :

2 F D = 1,68 ⋅ 10 - 2 N

A força foi bem maior em relação ao problema anterior, isso ocorre porque a área mais larga está na frente da placa e a tensão também é maior nessa região inicial e depois vai diminuindo com x, gerando uma força de arrasto maior já no começo do percurso do fluxo.

Resposta

2 F D = 1,68 ⋅ 10 - 2 N

(força total em ambos os lados)

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