Enunciado

Repita o Problema 9.44, considerando agora que o escoamento de ar é a 25 m / s (considere escoamento na camada limite turbulenta).

Passo 1

O enunciado diz que o escoamento é turbulento, e pede para calcularmos a força de arrasto. Como ele é turbulento em uma placa plana, valem as relações(considerando perfil de velocidade de potência 1 / 7 ) :

C f = τ w ρ U 2 2 = 0,0594 R e x 1 5

Ele também dá ums informações importantes:

Velocidade de corrente livre: U = 25   m / s

A forma da placa: x = y 2 / 25

Temos o ar a 20 ° C ,   101,3 k P a , o que implica em ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Passo 2

A força total de arrasto pode ser definida como:

F D = ∫ τ w d A

Então precisamos de uma expressão para τ w .

Como a gente encontra isso? Usando as equações da camada limite:

τ w ρ U 2 2 = 0,0594 R e x 1 5

τ w x = ρ U 2 2 0,0594 R e x 1 5 = 0,0594 ρ U 2 2 μ ρ U x 1 5

Uhul! Conseguimos!

Passo 3

Agora, começamos a montar a nossa integral:

F D = ∫ τ w d A

Repara que a nossa largura muda conforme andamos na direção do fluxo, isso é, conforme variamos x . Por isso, podemos escrever:

d A = w ( x ) d x

Como achamos essa largura w ( x ) em função de x ? Temos que:

w 0 = 0 ,   w L = a

Onde L é o comprimento percorrido pelo fluído na placa.

A placa tem a forma da parábola: x = y 2 25

O que diz para gente que nossa função para largura tem que ter uma raiz quadrada. Aí usando essas condições acima, podemos dizer que:

w x = a x L

Reescrevendo:

d A = w x d x ∴ d A = a x L d x

Sabendo que 0 < x < L :

F D = ∫ 0 L 0,0594 ρ U 2 2 μ ρ U x 1 5 a x L d x = 0,0297 a ρ U 2 L μ ρ U 1 5 ⋅ ∫ 0 L x 3 10 d x

F D = 0,02285 a ρ U 2 μ L 4 ρ U 1 5

Passo 4

Precisamos substituir os dados do problema, mas quem é L ?

Repara que L é o valor de x quando y = 25 / 2 . Logo:

x = y 2 25 = 6,25   c m = 0,0625 m

Sendo a = 0,25   m :

F D = 0,02285 ⋅ 0,5 ⋅ 1,21 ⋅ 25 2 1,81 ⋅ 10 - 5 ⋅ 0,0625 4 1,21 ⋅ 25 1 5 = 0,054 N

Isso se a gente pensar na força em um lado só da placa. Pensando na força aplicada em ambos os lados, é só multiplicar por 2 :

2 F D = 0,108 N

Resposta

2 F D = 0,108 N

(força total em ambos os lados)

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