Enunciado

O perfil de velocidade em um escoamento da camada limite com gradiente de pressão zero é aproximado pela expressão de perfil de potência 1 / 6 ,

u U = η 1 6 , em que η = y δ

Use a equação da integral da quantidade de movimento com este perfil para obter expressões para δ / x e C f . Compare os resultados obtidos na Seção 9.5 para o perfil de potência 1 / 7 .

Passo 1

Ele manda a gente usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Mas ele também fala que:

- gradiente de pressão zero: U = c o n s t a n t e , e implica que:

τ w ρ = d U 2 θ d x

- perfil de velocidade de potência 1 / 6 : u U = y δ 1 6

Precisamos achar expressões para C f e y δ com essas informações aí. Bora!

Passo 2

Vamos aproximar o cisalhamento na parede por essa equação:

τ w = 0,0233 ρ U 2 μ ρ U δ 1 4

Substituindo isso na equação integral:

τ w ρ = d U 2 θ d x

0,0233 μ ρ U δ 1 4 = d θ d x

Passo 3

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ y δ 1 6 1 - y δ 1 6 d y = ∫ o δ y δ 1 6 - y δ 2 6 d y = 3 28 δ

Aí substituindo na nossa equação:

0,0233 μ ρ U δ 1 4 = 3 28 d δ d x

Passo 4

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

δ 1 4 d δ = 0,2175 μ ρ U 1 4 d x

∫ δ 1 4 d δ = ∫ 0,2175 μ ρ U 1 4 d x ∴ 4 5 δ 5 4 = 0,2175 μ ρ U δ 1 4 x + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

4 5 δ 5 4 = 0,2175 μ ρ U 1 4 x

Isolando δ e dividindo os dois lados por x :

δ = 0,2719 x ⋅ μ ρ U 1 4 4 5 = 0,2719 4 ⋅ x 4 ⋅ μ ρ U 1 5

δ x = 0,353 R e x 1 5

Achamos a primeira expressão!

Passo 5

Para achar uma expressão para C f vamos usar:

c f = τ w 1 2 ρ U 2 = 0,0233 ρ U 2 μ ρ U δ 1 4 1 2 ρ U 2

δ x = 0,353 R e x 1 5

Substituindo uma na outra:

c f = 0,0 466 μ R e x 1 5 ρ U x ⋅ 0,353 1 4 = 0,0 605 R e x - 1 R e x 1 5 1 4

c f = 0,0605 R e x 1 5

Comparando os resultado para o caso com potência 1 / 7 , vemos que os valores ficaram próximos.

Resposta

δ x = 0,353 R e x 1 5

c f = 0,0605 R e x 1 5

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