Enunciado

Quando pequenas partículas de aerossol ou microorganismos se movem através do ar ou da água, o número de Reynolds é muito pequeno ( R e   «   1 ) . Tais escoamentos são chamados de escoamentos lentos. O arrasto aerodinâmico de um objeto no escoamento lento é uma função apenas de sua velocidade V , de alguma escala de comprimento característica L do objeto e da viscosidade do fluido μ . (Figura P7-58). Use a análise dimensional para gerar uma relação para F D como função das variáveis independentes.

Passo 1

Agora que você leu o enunciado você pensa “MAS O QUE É ESCOAMENTO LENTO”, mas calma, você não precisa saber! A gente vai saur análise dimensional para resolver esse problema e o enunciado já deu todos os parâmetros relevantes, só precisamos seguir o nosso passo a passo do método dos parâmetros repetidos!

Começando por listar os parâmetros relevantes:

F d = f ( V ,   L , μ ) n = 4

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

F d = { m 1 L 1 t - 2 }

V = L 1 t - 1

L = L 1

μ = m 1 L - 1 t - 1

Passo 3

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j

O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 4 !

Substituindo:

k = 5 - 4 = 1

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 1. Então vamos atrás dele!!

Passo 4

Antes de começar a precisamos decidir quais vão ser os 3   parâmetros repetidos.

Pra relembrar nossos parâmetros:

F d = f ( V ,   L , μ )

Como não podemos usar F d , já que ele é um parâmetro dependente, resta pra a gente V ,   L ,   e   μ .

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π !!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π = 1 = { ( F d ) × V a × L b × μ c }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π = m 0 L 0 t 0 = { m 1 L 1 t - 2 × L 1 t - 1 a × L 1   b × m 1 L - 1 t - 1 c }

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m 1 × m c

0 = 1 + c

c = - 1

Comprimento:

L 0 = L 1 × L a × L - c

0 = 1 + a + b - c

0 = 1 + a + b + 1

Tempo:

t 0 = t - 2 × t - a × t - c

0 = - 2 - a - c

a = - 2 + 1 = - 1

Logo:

0 = 1 + a + b + 1

0 = 1 - 1 + b + 1

b = - 1

Substituindo a , b e c , temos:

π = 1 = { ( F d ) × V - 1 × L - 1 × μ - 1 }

Organizando:

π = F d V L μ

Passo 6

Agora é aquele momento que a gente escreve a relação entre os grupos π , mas aqui a gente só tem um grupo π ! Como ele não vai ser uma função de nada, logo a gente espera que ele seja igual a uma constante!

π = F d V L μ = c o n s t a n t e

Resposta

π = F d V L μ = c o n s t a n t e

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