Enunciado

Considere um escoamento permanente, incompressível, laminar de um fluido newtoniano em um tubo redondo infinitamente longo de diâmetro D ou raio R = D / 2 inclinado de um ângulo α (Figura P 9 - 95 ). Não há gradiente de pressão aplicado ( ∂ P ∂ x = 0 ). Em vez disso, o fluido escoa pelo tubo somente devido à gravidade. Adotamos o sistema de coordenadas mostrado, com x paralelo ao eixo do tubo. Deduza uma expressão para a componente de velocidade u como uma função de raio r e dos outros parâmetros do problema. Calcule a vazão em volume e a velocidade axial média através do tubo.

Passo 1

Nossa situação é a seguinte: temos um fluido com propriedades constantes ( ρ ,   μ ) escoando em um duto inclinado de um ângulo α com a horizontal. Não temos gradiente de pressão e, o cilindro está fixo, de forma, que o líquido escoa apenas pela ação da força gravitacional. Tudo bem?

Para esta situação, nossa primeira tarefa será determinar o perfil de velocidades. Vamos lá?

Para começar, vamos aplicar a equação da continuidade para coordenadas cilíndricas:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r r ρ u r + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ x ρ u = 0

Considerando que temos um escoamento em regime permanente e, que apenas a componente u da velocidade é não-nula:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

u r = 0 → 1 r ∂ ∂ r r ρ u r = 0 ;

u θ = 0 → 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ = 0

Então, a equação se reduz à:

∂ ∂ x ρ u = 0

ρ ∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ x = 0

Podemos concluir então que u não depende da direção x . Ou seja:

u = u r

Passo 2

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidades será aplicar a equação de Navier-Stokes. Como só temos velocidade na componente x , vamos usar a equação de Navier-Stokes para esta direção:

ρ ∂ u ∂ t + u r ∂ u ∂ r + u θ r ∂ u ∂ θ + u ∂ u ∂ x = - ∂ P ∂ x + ρ g x + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 + ∂ 2 u ∂ x 2

Vamos analisar primeiro os termos do lado esquerdo.

Temos um escoamento em regime estacionário e, como mencionamos anteriormente as componentes de velocidade u r e u θ são nulas. Além disso, pela equação da continuidade vimos que u = u ( r ) . Então:

∂ u ∂ t = 0 ;

u r = 0 → u r ∂ u ∂ r = 0 ;

u θ = 0 → u θ r ∂ u ∂ θ = 0 ;

∂ u ∂ x = 0 → u ∂ u ∂ x = 0

Assim, o lado esquerdo se reduz à:

ρ 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora olhar para os termos do lado direito.

Não temos gradiente de pressão no escoamento e, na direção x , temos uma componente da força gravitacional. Também, vamos utilizar o resultado da equação de continuidade u = u ( r ) :

∂ P ∂ x = 0

ρ g x = ρ g sen ⁡ α ;

∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 → 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 ;

∂ 2 u ∂ x 2 = 0

A equação de Navier-Stokes fica:

0 = 0 + ρ g sen ⁡ α + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 0 + 0

- ρ g sen ⁡ α = μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r

- ρ g sen ⁡ α μ r = ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r

Passo 3

Para continuar, vamos integrar os dois lados da equação em relação à ∂ r :

∫ - ρ g sen ⁡ α μ r ∂ r = ∫ ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r ∂ r

- ρ g sen ⁡ α 2 μ r 2 + C 1 = r ∂ u ∂ r

Para encontrar C 1 , já vamos aplicar a primeira condição de contorno. Considerando que temos um perfil simétrico devemos ter velocidade máxima no centro. Tudo bem?

Então

∂ u ∂ r r = 0 = 0

- ρ g sen ⁡ α 2 μ × 0 2 + C 1 = 0 → C 1 = 0

Portanto, ficamos com:

r ∂ u ∂ r = - ρ g sen ⁡ α 2 μ r 2

∂ u ∂ r = - ρ g sen ⁡ α 2 μ r

Integrando novamente em relação à ∂ r :

∫ ∂ u ∂ r ∂ r = ∫ - ρ g sen ⁡ α 2 μ r ∂ r

u = - ρ g sen ⁡ α 4 μ r 2 + C 2

Para obter a constante C 2 vamos aplicar a segunda condição de contorno. Pelo princípio da aderência:

u f l u i d o = u s u p e r f í c i e

u r = R = 0

Aplicando esta condição:

0 = - ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 + C 2 → C 2 = ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2

Substituindo C 2 nosso perfil de velocidades é:

u = - ρ g sen ⁡ α 4 μ r 2 + ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2

u = ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 1 - r 2 R 2

Passo 4

Agora que temos o perfil vamos calcular qual é a vazão volumétrica de fluido. Para isso, vamos aplicar a seguinte relação:

V ˙ = ∫ u d A

V ˙ = ∫ 0 R u 2 π r d r

V ˙ = 2 π ∫ 0 R ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 1 - r 2 R 2 r d r

V ˙ = 2 π ∫ 0 R ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 r - r 3 R 2 d r

V ˙ = 2 π ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 r 2 2 - r 4 4 R 2 0 R

V ˙ = 2 π ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 R 2 2 - R 4 4 R 2

V ˙ = 2 π ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 R 2 2 - R 2 4 = 2 π ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 R 2 4

V ˙ = π ρ g sen ⁡ α 8 μ R 4

Para finalizar, vamos encontrar a velocidade média através da equação:

V ˙ = u - A = u - π R 2

π ρ g sen ⁡ α 8 μ R 4 = u - π R 2

u - = ρ g sen ⁡ α 8 μ R 2

Resposta

O perfil de velocidades é:

u = ρ g sen ⁡ α 4 μ R 2 1 - r 2 R 2

A vazão volumétrica será:

V ˙ = π ρ g sen ⁡ α 8 μ R 4

Com uma velocidade média de:

u - = ρ g sen ⁡ α 8 μ R 2

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