Enunciado

Deixe o vetor G → ser dado por G → = 2 x z i → - 1 2 x 2 j → + z 2 k → . Calcule o divergente de G → , e simplifique o máximo possível. Existe algo de especial no seu resultado?

Passo 1

Faaaaaala galerinhaa !!

Esta é bem legal!!

Se lembram como calculamos o divergente de um vetor?

É bem simples:

∇ →   .   G →

Então basta nós multiplicarmos o vetor G → pelo operador ∇ → !

Sabendo que:

G → = 2 x z i - 1 2 x 2 j + z 2 k

∇ → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k

Portanto:

∇ →   .   G → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . 2 x z i - 1 2 x 2 j + z 2 k

Multiplicando os termos nas suas respectivas direções:

∇ →   .   G → = ∂ ∂ x 2 x z + ∂ ∂ y - 1 2 x 2 + ∂ ∂ z z 2

Agora nós precisamos realizar as derivadas parciais:

∂ ∂ x 2 x z = 2 z

∂ ∂ y - 1 2 x 2 = 0

∂ ∂ z z 2 = 2 z

Substituindo:

∇ →   .   G → = 2 z + 0 + 2 z

∇ →   .   G → = 4 z

Aqui apareceu um dilema, não é? A resposta ao lado do exercício está ∇ →   .   G → = 0 .

De fato as versões em inglês trazem o vetor G →   como:

G → = 2 x z i - 1 2 x 2 j - z 2 k

E neste caso, quando derivássemos:

∇ →   .   G → = 2 z + 0 - 2 z

∇ →   .   G → = 0

O importante aqui é vocês compreenderem como foi feito o exercício, ok?

Bora continuar?

Resposta

∇ →   .   G → = 4 z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

PP8.3 – Considere água a 20°C escoando a 12 m/s em um canal. Um oval de Rankine cilíndrica de 40 cm de comprimento é posicionada paralelamente ao escoamento, onde a pressão estática da água é 120 kPa.
PP8.2 – Modifique o Problema PP8.1 para determinar a distribuição de fontes pontuais que aproxima um corpo de revolução de formato “0018”. Uma vez que não existe resultados publicados, simplesmente se
An incompressible, irrotational, two-dimensional fl ow hasthe following stream function in polar coordinates:ψ 5 A rn sin (nθ) where A and n are constants.Find an expression for the velocity potential
Consider the function f 5 ay 2 by3. (a) Could this represent a realistic velocity potential? Extra credit: (b) Could itrepresent a stream function?
The proposed fl ow in Prob. P4.19 does indeed satisfy theequation of continuity. Determine the polar-coordinatestream function of this flow.