Enunciado

Considere o escoamento permanente, incompressível, paralelo, laminar de um fluido viscoso descendo entre duas paredes verticais infinitas (Fig. P9–82). A distância entre as paredes é h, e a gravidade atua na direção negativa de z (para baixo na figura). Não há pressão aplicada (forçada) impulsionando o escoamento – o fluido cai apenas pela gravidade. A pressão é constante em qualquer lugar do campo de escoamento. Calcule o campo de velocidade e esboce o perfil de velocidade usando variáveis adimensionais apropriadas.

Passo 1

Animados para continuar??

Eu espero que siiim !!

Vamos ter que fazer algumas observações, ok?

O problema já nos disse que o escoamento é permanente e incompressível !!

Sabemos pelo problema que o escoamento é constantes, ou seja, as derivadas com relação ao tempo são iguais a zero !!

Também vimos que o escoamento é paralelo, o que isso nos diz? Que a componente x da velocidade, u , é igual a zero em todos os lugares !!

Se não há pressão sendo aplicada, não há gradiente de pressão, então a pressão será constante em todos os pontos !

Se o escoamento ocorre apenas com relação ao eixo x z não há velocidade na direção y , ou seja, v = 0 , assim como todas as suas derivadas parciais !!

E para finalizar nossos comentários, que são muitíssimos úteis (não se deixem enganar pela preguiça !) existe a força gravitacional no sentido negativo de z, g z = - g .

Beleza !! Agora nós podemos começar lembrando da equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

As componentes da velocidade são dadas pelo problema, não é verdade?

u = 0

v = 0

Podemos substituir:

∂ 0 ∂ x + ∂ 0 ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

∂ w ∂ z = 0

Para satisfazer a equação de Bernoulli a componente w da velocidade não pode variar com relação a z, nem com relação a y, certo? Já que nós não estamos trabalhando com o eixo y   aqui !!

Então a única opção é que w varie com relação a x , ou melhor, w = w x .

Passo 2

Se a equação da continuidade é satisfeita nós podemos usar a equação de Navier – Stokes.

Para a direção z, já que vimos que as demais são iguais a zero:

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ∂ z + ρ g z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

Se w   só varia com relação a x:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ y = ∂ w ∂ z = ∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Sabemos também que não há gradiente de pressão:

∂ P ∂ z = 0

Substituindo também u = v = 0 :

ρ 0 + 0 ∂ w ∂ x + 0 0 + w 0 = - 0 + ρ - g + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + 0 + 0

∂ 2 w ∂ x 2 = ρ g μ

Integrando a primeira vez:

∂ ∂ x ∫ ∂ w ∂ x = ∫ ρ g μ

∂ ∂ x ∫ ∂ w = ∫ ρ g μ . d x

∂ w ∂ x = ρ g x μ + C 1

Integrando a segunda vez:

∫ ∂ w ∂ x = ∫ ρ g x μ + C 1  

∫ ∂ w = ∫ ρ g x μ + C 1 . d x

w = ρ g x 2 2 μ + C 1 x + C 2

E agora? O que faremos?

Precisamos achar estas constantes de integração que apareceram e, por isso, vamos usar nossa tão queridas condições de contorno!!

Passo 3

Segundo a condição de contorno antiderrapante, as paredes do tanque são estacionárias, ou seja:

x = - h 2       o u       x = h 2

Não há velocidade:

u = 0 ,     v = 0 ,     w = 0

Substituindo o primeiro valor para x:

0 = ρ g - h 2 2 2 μ + C 1 - h 2 + C 2

ρ g h 2 8 μ = C 1 h 2 - C 2

E colocando o segundo valor de x:

0 = ρ g h 2 2 2 μ + C 1 h 2 + C 2

0 = ρ g h 2 8 μ + C 1 h 2 + C 2

Substituindo o termo ρ g h 2 8 μ :

0 = C 1 h 2 - C 2 + C 1 h 2 + C 2

0 = C 1 h

C 1 = 0

Substituindo o valor da constante 1 na primeira igualdade:

ρ g h 2 8 μ = 0 h 2 - C 2

C 2 = - ρ g h 2 8 μ

E agora é só colocar na velocidade:

w = ρ g x 2 2 μ - ρ g h 2 8 μ

Passo 4

Achamos a velocidade, mas também queremos o perfil em termos adimensionais!!

Para isso vamos começar reorganizando esta equação:

w μ ρ g h 2 = x 2 2 h 2 - 1 8

Chamando:

w μ ρ g h 2 = w *

x h = x *

Substituindo:

w * = x * 2 2 - 1 8

Como os valores máximos para x são - h 2 e h 2 , teremos que:

- 0,5 ≤ x * ≤ 0,5

Substituindo na fórmula:

Agora é só fazer um gráfico bem bonito e descobriremos o perfil da velocidade:

E chegamos ao fim de mais uma beem legal !!

Resposta

w = ρ g x 2 2 μ - ρ g h 2 8 μ

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