Enunciado

Como continuação do Problema 9-39, calcule a vazão em volume por unidade de largura para dentro do plano da página da Figura P9-39 com base nos primeiros princípios (integração do campo de velocidade). Compare o seu resultado com aquele obtido diretamente de uma função corrente. Discuta.

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certinho? Esse é um exercício que foi feito para a gente entender melhor a relação entre a função corrente ψ e cálculo de vazão por unidade de largura V ˙ w ( w é a largura das placas). Então vamos dominar esse assunto!

O enunciado quer que a gente calcule a vazão por unidade de largura V ˙ w do escoamento do Problema 9-39 de duas formas. A primeira forma é a partir da integração do campo de velocidade como está mostrado na equação abaixo. Por esse caminho, calculamos a vazão volumétrica V ˙ pela integral e depois dividimos ela pela largura w das placas.

V ˙ = ∫ A u ⋅ d A

A segunda forma é a partir da função de corrente ψ de escoamento incompressíveis (equação 9-25 do livro). Quando diminuímos o valor da função corrente ψ 0 da linha de corrente que está em contato com a placa inferior do valor da função de corrente ψ h da linha de corrente que está em contato com a placa superior, encontramos a vazão por unidade de largura V ˙ w que passa pelas placas.

V ˙ w = ψ h - ψ 0

A figura abaixo mostra essas duas formas de se calcular vazão por unidade de largura.

u é a componente da velocidade do eixo x e v é a componente da velocidade no eixo y . h é a distânica entre as placas. V é a componente horizontal da velocidade do fluido que está em contato com a placa superior y = h . ψ h é a função corrente do fluido em contato com a placa superior. ψ 0 é a função corrente do fluido em contato com a placa de baixo (onde y = 0 ). A é a área transversal pela qual o fluido escoa.

Passo 2

Para integrar a velocidade através da área A , temos que considerar e a área do elemento infinitesimal d A que compõe a área total é igual a largura w das placas multiplicada pela espessura d y .

d A = w ⋅ d y

Usando essa informação na integral, achamos:

V ˙ = ∫ A u ⋅ d A       ⟹     V ˙ = ∫ 0 h u ⋅ w ⋅ d y

A velocidade u é dada no enunciado do Problema 9-39.

u = V ⋅ y h

Substituindo essa expressão na integral:

V ˙ = ∫ 0 h u ⋅ w ⋅ d y       ⟹       V ˙ = ∫ 0 h V ⋅ y h ⋅ w ⋅ d y       ⟹       V ˙ = V ⋅ w 2 ⋅ h ⋅ y 2 0 h

V ˙ = V ⋅ w 2 ⋅ h ⋅ h 2 - V ⋅ w 2 ⋅ h ⋅ 0 2       ⟹       V ˙ = V ⋅ w ⋅ h 2

Dividindo V ˙ por w :

V ˙ w = V ⋅ w ⋅ h 2 w       ⟹       V ˙ w = V ⋅ h 2

Passo 3

Agora vamos calcular V ˙ w pelas funções corrente ψ 0 e ψ h , usando os valores de ψ 0 e ψ h obtidos no Problema 9-39.

V ˙ w = ψ h - ψ 0       ⟹       V ˙ w = V ⋅ h 2 - 0       ⟹       V ˙ w = V ⋅ h 2

Passo 4

Como poderíamos prever, os dois resultados são iguais. Isso acontece porque o escoamento é incompressível. Dessa forma, conseguimos calcular a vazão volumétrica dividida pela largura V ˙ w através da diferença entre dois valores de função corrente ψ . Se o escoamento fosse compressível e permanente, a diferença entre dois valores de função corrente ψ seria igual à vazão mássica de fluido m ˙ dividida pela largura w das placas.

Resposta

V ˙ w = V ⋅ h 2

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