Enunciado

Considere uma esfera de 5   c m de diâmetro, um cubo com lado de 5   c m de comprimento e um prisma retangular de dimensões 4   c m × 5   c m × 6   c m , todos inicialmente a 0 ℃ e todos feitos de prata ( k = 429   W / m ⋅ K , ρ = 10.500   k g / m 3 , c p = 0,235   k J / k g ⋅ K ), Agora tosos os três sólidos são expostos ao ar ambiente a 33 ℃ em todas suas superfícies com coeficiente de transferência de calor de 12   W / m 2 ⋅ K . Determine o tempo necessário para que a temperatura de cada sólido aumente para 25 ℃ .

Passo 1

Os dados fornecidos no enunciado são:

O valor da condutividade térmica k = 429   W / m ⋅ K .

O valor da densidade ρ = 10.500   k g / m 3 .

O valor do calor específico c p = 0,235   k J / k g ⋅ K .

O coeficiente de transferência é h = 12   W / m 2 ⋅ K .

A temperatura inicial é T i = 0 0 ℃ .

A temperatura ambiente é T ∞ = 33 ℃ .

A temperatura final é T t = 25 ℃ .

As dimensões do prisma retangular é 4   c m × 5   c m × 6   c m

O diâmetro da esfera é D = 5   c m .

O lado do cubo é L = 5   c m .

Passo 2

Fala galera!!

Para responder esse exercício, precisamos primeiro calcular o número de Biot para saber se podemos aplicar a analise para sistema aglomerado. Podemos calcular Biot da seguinte maneira:

B i = h L c k

Aqui,  h é o coeficiente de transferência de calor,  L c o comprimento característico e  k é a condutividade térmica da barra de cobre. Para isso, vamos precisar calcular o comprimento característico para cada sólido.

Passo 3

Para esfera:

Podemos encontrar o comprimento da característica da esfera usando a seguinte equação:

L c = V A s

L c = π D 3 / 6 π D 2

L c = D 6

Aqui,  V  é o volume da esfera,  A s  é a área da esfera e  D  é o diâmetro da esfera.

Substituo 0,05   m , para  D .

L c = 0,05 6

L c = 0,00833   m

Temos então que Biot é:

B i = 12   W / m 2 ⋅ K × 0,00833   m 429   W / m ⋅ K

B i = 0,00023

Aqui, o número de Biot é menor que 0,1 , portanto, a análise do sistema aglomerado é aplicável. Já que Biot é menor que 0,1 , podemos calcular o tempo necessário para que a temperatura de cada sólido aumente para 25 ℃ da se seguinte formula:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte forma:

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = ln ⁡ e - b t

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = - b t

t = - 1 b ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

onde

b = h A s ρ V c p

Substituindo b temos:

t = - ρ V c p h A s ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

t = - ρ c p L c h ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Aqui,  T i é a temperatura uniforme inicial, T ∞ é a temperatura da corrente de ar, T ( t ) é a temperatura no momento  t , L c é o comprimento característico,  ρ é a densidade, h é o coeficiente de transferência de calor e c p é o calor específico.

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

t = - 10.500   k g / m 3 × 235   J / k g ⋅ K × 0,00833   m 12   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 25 - 33 0 - 33

t = 2427,2   s

t = 4 0,5   m i n

Portanto, o tempo necessário para que a temperatura da esfera aumente para 25 ℃ é 40,5   m i n .

Passo 4

Para cubo:

Podemos encontrar o comprimento da característica do cubo usando a seguinte equação:

L c = V A s

L c = L 3 6 L 2

L c = L 6

Aqui,  V  é o volume do cubo,  A s  é a área do cubo e  L  é um dos lados do cubo.

Substituo 0,05   m , para  L .

L c = 0,05 6

L c = 0,00833   m

Temos então que Biot é:

B i = 12   W / m 2 ⋅ K × 0,00833   m 429   W / m ⋅ K

B i = 0,00023

Aqui, o número de Biot é menor que 0,1 , portanto, a análise do sistema aglomerado é aplicável. Já que Biot é menor que 0,1 , podemos calcular o tempo necessário para que a temperatura do cubo aumente para 25 ℃ usando a mesma ideia que foi usada na esfera. Assim temos:

t = - ρ c p L c h ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

t = - 10.500   k g / m 3 × 235   J / k g ⋅ K × 0,00833   m 12   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 25 - 33 0 - 33

t = 2427,2   s

t = 40,5   m i n

Portanto, o tempo necessário para que a temperatura do cubo aumente para 25 ℃ é 40,5   m i n .

Passo 5

Para prisma retangular:

Podemos encontrar o comprimento da característica do prisma usando a seguinte equação:

L c = V A s

L c = L × B × H 2 L × B + 2 B × H + 2 H × L

Aqui,  L  é comprimento,  B  é largura e  H  é altura do prisma. Substituindo L por 0,04   m , B por 0,05   m e H por 0,06   m .

L c = 0,04 × 0,05 × 0,06 2 0,04 × 0,05 + 2 0,05 × 0,06 + 2 0,06 × 0,04

L c = 0,00811   m

Temos então que Biot é:

B i = 12   W / m 2 ⋅ K × 0,00811   m 429   W / m ⋅ K

B i = 0,00027

Aqui, o número de Biot é menor que 0,1 , portanto, a análise do sistema aglomerado é aplicável. Já que Biot é menor que 0,1 , podemos calcular o tempo necessário para que a temperatura do prisma aumente para 25 ℃ usando a mesma ideia que foi usada na esfera. Assim temos:

t = - ρ c p L c h ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

t = - 10.500   k g / m 3 × 235   J / k g ⋅ K × 0,00811   m 12   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 25 - 33 0 - 33

t = 2363 , 1   s

t = 39,4   m i n

Portanto, o tempo necessário para que a temperatura do prisma aumente para 25 ℃ é 39 , 4   m i n .

Resposta

Para esfera: t = 40,5   m i n .

Para cubo:   t = 40,5   m i n .

Para prisma retangular: t = 39,4   m i n .

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