Enunciado

Para aquecer um pouco de leite para o bebê, a mãe coloca leite em um copo de vidro de parede fina cujo diâmetro é 6   c m . A altura do leite no copo é 7   c m . Ela então coloca o copo em uma panela cheia com água quente a 70 ℃ . O leite é agitado constantemente, de modo que sua temperatura seja uniforme o tempo todo. Considerando que o coeficiente de transferência de calor entre a água e o copo é 120   W / m 2 ⋅ K , determine quanto tempo será necessário para aquecer o leite de 3 ℃ pra 38 ℃ . Tome as propriedades do leite como sendo as mesmas que as da água. Nesse caso, o leite pode ser tratado como sistema aglomerado? Por quê?

Passo 1

Dados fornecidos:

O diâmetro do vidro fino é D = 6   c m .

O raio do vidro fino é r = 3   c m .

O coeficiente de transferência de calor entre a água e o vidro é  h = 120   W / m 2 ⋅ K .

A temperatura da água quente é T ∞ = 70 ℃ .

A temperatura inicial do leite é T i = 3 ℃ .

A temperatura final do leite é  T t = 38 ℃ .

A condutividade térmica da água é k = 0,607   W / m ⋅ K .

A densidade da água é ρ = 998   k g / m 3 .

A capacidade térmica da água é c p = 4182   J / k g ⋅ K .

Passo 2

Vamos fazer a seguinte suposição para resolver esse problema:

Usamos análises de sistema aglomerado para esse problema, pois se supõe que a temperatura do leite permaneça uniforme sempre.

Presume-se que as propriedades térmicas do leite sejam tão próximas quanto às da água e as propriedades são constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando o comprimento da característica.

L c = V / A

L c = π r 2 h 2 π r h + 2 π r 2

L c = r h 2 ( h + r )

L c = 0,03   m × 0,07   m 2 ( 0,07   m + 0,03   m )

L c = 0,0105   m

Agora, vamos calcular o número de Biot. Assim temos:

B i = h L c k

B i = 120   W / m 2 ⋅ K × 0,0105   m 0,607   W / m ⋅ K

B i = 2,076

Encontramos que o número de biotas é maior que 0,1 , portanto, a análise do sistema aglomerado não é aplicável. Porém, neste problema, estamos usando a análise do sistema aglomerado por causa da temperatura permanecer uniforme devido à agitação constante.

Passo 4

Para encontrar o tempo será necessário para aquecer o leite de 3 ℃ pra 38 ℃ , podemos usar a seguinte formula:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Podemos reescrever essa equação isolando o tempo da seguinte forma:

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = ln ⁡ e - b t

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = - b t

t = - 1 b ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Onde

b = h A s ρ V c p = h ρ L c c p

Substituindo b temos:

t = - ρ L c c p h ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Passo 5

Agora, para encontrar o tempo, basta substituirmos os valores conhecidos na equação acima. Assim temos:

t = - 998   k g / m 3 × 0,0105   m × 4182   J / k g ⋅ K 120   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 38 ℃ - 70 ℃ 3 ℃ - 70 ℃

t = 269,9   s

t = 4,5   m i n

Portanto, o tempo necessário para aquecer o leite é  4,5   m i n .

Como o leite é mexido constantemente, a temperatura do leite permanece constante quase o tempo todo, mesmo que o número de Biot seja muito maior. Portanto, a análise de sistemas aglomerado é bastante apropriada para esse problema.

Resposta

t = 4,5   m i n

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