Enunciado

Molas em um sistema de suspenção de automóveis são barras de aço aquecidas que, enquanto estão maleáveis, são enroladas em bobinas. Considere barras de aço ρ = 7.832   k g / m 3 ,     c p = 434   J / k g ⋅ K ,     k = 63,9   W / m ⋅ K com diâmetro de 2,5   c m e comprimento de 1,27   m , aquecidas em formo com coeficiente uniforme de transferência de calor por convecção de 20   W / m 2 ⋅ K . As barras foram aquecidas a partir de temperatura inicial de 20 ℃ para temperetura desejada de 450 ℃ antes de serem enroladas em bobinas. Determine a temperatura ambiente no forno se as barras de aço precisaram ser aquecidas para a temperatura desejada em 10 minutos.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da barra de aço é ρ = 7.832   k g / m 3

Capacidade específica de calor é c p = 434   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica é k = 63,9   W / m ⋅ K

Diâmetro da barra é D = 2,5   c m = 0,025   m

Comprimento da barra é L = 1,27   m

Coeficiente de transferência de calor é h = 20   W / m 2 ⋅ K

Temperatura inicial é T i = 20 ℃ = 293 K

Temperatura final é T t = 450 ℃ = 723 K

Tempo de aquecimento é t = 10   m i n = 600   s

Passo 2

Vamos começar calculando o número de Biot usando a seguinte relação:

B i = h L c k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção, k  é a condutividade térmica da barra de aço e L c é o comprimento característico da barra de aço.

Podemos calcular o comprimento característico da barra de aço usando a seguinte relação,

L c = V A s

L c = π D 2 L / 4 π D L

L c = D 4

Aqui,  V é o volume da haste de aço,  A s é a área da superfície da haste de aço,  D é o diâmetro da haste de aço e  L é o comprimento da haste de aço.

Substituindo na ralação do número de Biot, temos:

B i = h D 4 k

Substituindo 63,9   W / m ⋅ K por  k 0,025   m por D 20   W / m 2 ⋅ K por  h , temos:

B i = 20   W / m 2 ⋅ K   × 0,025   m 4 × 63,9   W / m ⋅ K

B i = 0,001956

A análise do sistema aglomerado pode ser feita, uma vez que o número de Biot é menor que 0,1 .

Passo 3

Podemos calcular a temperatura ambiente do forno usando a equação para a análise do sistema aglomerado.

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Onde

b = h ρ c p L c

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte maneira:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - h ρ c p L c t

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - 4 h ρ c p D t

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  ρ é a densidade,  c p é a capacidade específica de calor a pressão constante, T i é a temperatura inicial, T ( t ) é a temperatura final, D é o diâmetro e t é o tempo.

Substituindo  20   W / m 2 ⋅ K por  h 7832   k g / m 3 por  ρ 434   J / k g ⋅ K por  c p , 0,025   m por D , 293 K por T i , 723 K por T ( t ) e 600   s por t , temos:

723 K - T ∞ 293 K - T ∞ = e - 4 × 20   W / m 2 ⋅ K   7832   k g / m 3 × 4 34   J / k g ⋅ K × 0,025   m × 600   s

723 K - T ∞ 293 K - T ∞ = e - 0,5648

723 K - T ∞ 293 K - T ∞ = 0,5684

723 K - T ∞ = 166,55 K - 0,5684 T ∞

T ∞ - 0,5684 T ∞ = 723 K - 166,55 K

T ∞ = 1289,39 K

T ∞ = 1016,39 ℃

Portanto, a temperatura ambiente do forno é  1016,39 ℃ .

Resposta

T ∞ = 1016,39 ℃

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