Enunciado

Considere a ferramenta de corte do Problema 4.40, mas com um ângulo de ponta de 60 ° . Derive a equação de diferença finita nodal para o nó m ,   n .

Passo 1

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Estado estacionário, condução 2D.

(2) Propriedades constantes.

Os dados fornecidos foram:

Fluxo térmico constante: q o ' '

Temperatura do fluido de resfriamento: T ∞  

Coeficiente de convectivo: h

Passo 2

O volume de controle sobre o nó m ,   n tem forma triangular com um ângulo de 60 ° , assim, seus lados tem tamanhos

L x = Δ x 2

E

L y = L x tan ⁡ 60 ° = 3 Δ x 2

enquanto o comprimento da superfície diagonal inferior é

L d = L x cos ⁡ 60 ° = Δ x / 2 1 / 2 = Δ x

As taxas de calor associadas ao volume de controle são devidas ao fluxo de calor constante, q a , à condução, q b , e ao processo de convecção, q c . Faça um balanço de energia,

Passo 3

Podemos fazer o seguinte balanço de energia:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = 0

q a + q b + q c = 0

q 0 ' ' L x ⋅ 1 + k L y ⋅ 1 T m + 1 ,   n - T m , n Δ x + h L d T ∞ - T m , n = 0

q 0 ' ' Δ x 2 ⋅ 1 + k 3 Δ x 2 ⋅ 1 T m + 1 ,   n - T m , n Δ x + h Δ x T ∞ - T m , n = 0

q 0 ' ' Δ x 2 + k 3 Δ x 2 T m + 1 ,   n - T m , n Δ x + h Δ x T ∞ - T m , n = 0

Dividindo cada termo por k 3 / 2 e reagrupando, temos:

q 0 ' ' Δ x k 3 + T m + 1 ,   n - T m , n + 2 h Δ x k 3 T ∞ - T m , n = 0

q 0 ' ' Δ x k 3 + T m + 1 ,   n - T m , n + 2 h Δ x k 3 T ∞ - 2 h Δ x k 3 T m , n = 0

T m + 1 ,   n + 2 h Δ x k 3 T ∞ + q 0 ' ' Δ x k 3 - 1 + 2 h Δ x k 3 T m , n = 0

Resposta

T m + 1 ,   n + 2 h Δ x k 3 T ∞ + q 0 ' ' Δ x k 3 - 1 + 2 h Δ x k 3 T m , n = 0

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