Enunciado

Considere um ferro de passar roupa de 800   W cuja base de chapa tem 0,5   c m de espessura de liga de alumínio 2024 - T 6   ρ = 2.770   k g / m 3 ,     c p = 875   J / k g ⋅ K ,     α = 7,3 × 10 - 3   m 2 / s , a chapa da base tem área de 0,03   m 2 . Inicialmente, o ferro está em equilíbrio térmico com o ar ambiente a 22 ℃ . Tomando o coeficiente de transferência de calor na superfície da chapa da base como sendo 12   W / m 2 ⋅ K e considerando que 85 % do calor gerado na resistência é transferido para a chapa, determine o tempo necessário para que a temperatura da chapa atinja 140 ℃ . É realístico presumir que a temperatura da placa seja uniforme o tempo todo?

Passo 1

Dador fornecidos no enunciado:

P = 800   W

l = 0,5   c m

A = 0,03   m 2

h = 12   W / m 2 ⋅ K

ρ = 2.770   k g / m 3

c p = 875   J / k g ⋅ K

α = 7,3 × 10 - 3   m 2 / s

T ∞ = 22 ℃

T t = 140 ℃

Passo 2

Vamos começar calculando a quantidade de energia térmica transferida para a placa usando a seguinte relação:

P c h a p a = η × P

Onde η é a eficiência transferência de calor para a chapa e  P  é a potência da entrada de energia do ferro.

Substituindo 0,85 por  η e 800   W por  P .

P c h a p a = 0,85 × 800   W

P c h a p a = 680   W

Passo 3

Afora precisamos calcular a perda de calor por convecção na chapa. Podemos calcular a taxa de perda de calor da chapa de ferro usando a seguinte relação:

Q p e r d a = h A ( T m - T ∞ )

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção,  A  é a área da seção transversal,  T m é a temperatura média da placa e T ∞  é a temperatura do ambiente.

Substituindo h por 12   W / m 2 ⋅ K , A por 0,03   m 2 , T m por 140 + 22 2 ℃ e T ∞ por 22 ℃ . Assim temos:

Q p e r d a = 12   W / m 2 ⋅ K × 0,03   m 2 × ( 140 + 22 2 ℃ - 22 ℃ )

Q p e r d a = 21,24   W

Portanto, a quantidade de calor disponível é

Q = P c h a p a - Q p e r d a

Substituindo 680   W por  P c h a p a e 21,24   W por  Q p e r d a .

Q = 680   W - 21,24   W

Q = 658,76   W

Passo 4

Nós vamos precisar da massa da placa, então, podemos calcular a massa da placa usando a seguinte relação:

m = ρ A l

Aqui,  ρ é a densidade e  l  é a espessura. Substituindo  2.770   k g / m 3 por  ρ 0,03   m 2 para  A e 0,005   m por  l .

m = 2 770   k g / m 3 × 0,03   m 2 × 0,005   m

m = 0,4155   k g

Passo 5

Agora, se essa diferença de temperatura ocorrer ao longo do período de tempo for igual a '   t   ' , um balanço de energia fornecerá:

Q ∆ t = m c p ∆ T p l a c a

∆ t = m c p ∆ T p l a c a Q

Aqui,  ∆ t é a tempo e  ∆ T p l a c a é a diferença de temperatura da placa. Substituindo 658,76   W por  Q , 0,4155   k g por  m 875   J / k g ⋅ K por  c p 140 - 22 por  ∆ T p l a c a .

∆ t = 0,4155   k g × 875   J / k g ⋅ K × 140 - 22 658,76   W  

∆ t = 65,12   s

Portanto, o tempo necessário para o aquecimento é  65,12   s .

Passo 6

Para presumir se é realístico que a temperatura da placa seja uniforme o tempo todo, podemos calcular o número do Biot usando a seguinte relação:

B i = h L c k

Aqui,  h é o coeficiente de transferência de calor,  L c o comprimento característico que é igual a espessura da placa l k é a condutividade térmica do ferro. Podemos substituir α ρ c p por  k .

B i = h L c α ρ c p

Substituindo  7,3 × 10 - 3   m 2 / s por  α 2770   k g / m 3 por  ρ 12   W / m 2 ⋅ K por  h  , 0,005   m por  L c 875   J / k g ⋅ K por  c p .

B i = 12   W / m 2 ⋅ K × 0,005   m 7,3 × 10 - 3   m 2 / s × 2770   k g / m 3 × 875   J / k g ⋅ K

B i = 0,000391

Como o número de Biot é menor que 0,1 , é realista usar a temperatura uniforme da chapa e o valor do tempo de aquecimento também pode ser analisado.

Resposta

t = 65,12   s

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