Enunciado

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Sejam as bolas de aço do Problema 5.6, mas agora a temperatura do ar aumenta com o tempo na forma T ∞ ( t )   =   325   K   +   a t , sendo a   =   0,1875   K / s .

(a) Esboce a temperatura da bola versus o tempo para 0   ≤   t   ≤   1   h . Mostre também a temperatura ambiente, T ∞ , em seu esboço. Explique características especiais do comportamento da temperatura da bola.

(b) Ache uma expressão para a temperatura da bola em função do tempo, T(t), e apresente graficamente a temperatura da bola para 0 ≤ t ≤ 1 h. O seu esboço estava correto?

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema nos pede uma expressão da temperatura da bola em função do tempo, mas antes que tal desenharmos o comportamento desse problema pra entendermos o que o ocorre. Fica assim.

Agora vamos as nossas famosas considerações pra resolver nosso problema.

I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I - T r o c a   d e   c a l o r   p o r   r a d i a ç ã o   d e s p r e z í v e l

Passo 2

(a)

Todos os dados usados são para o aço e estão presentes no final do livro.

Agora que fizemos a análise do nosso problema vamos as nossas contas, primeiro vamos calcular o número de B i o t , usando a equação 5.10 . Como se trata de uma esfera L c = r 0 3 .

B i = h L c k = h r 0 3 k

B i = 20   W m 2 ⋅ K ⋅ 0,006 m 3 ⋅ 40 W m ⋅ k = 0,001

Isso nos diz que a temperatura da esfera de metal vai se manter praticamente uniforme durante o processo de resfriamento. Agora vamos escrever a equação 5.2 com o T ∞ apresentado na questão.

- h A s T - T ∞ = - h A s T - T 0 + a t = ρ V c d T d t

Vamos chamar T - T 0 de θ assim d T = d θ , organizando nossa equação temos:

d θ d t = - h A s ρ V c θ - a t

Fazendo - h A s ρ V c = C , temos:

d θ d t = C θ - a t

C θ - θ ' - C a t = 0

Resolvendo por E.D.O criamos um sistema homogêneo:

θ = θ h + θ p

Onde θ h = c 1 e - C t .

Fazendo θ p = f t   θ h sendo:

d f d t = C a t ⋅ e C t c 1

f t = a t - 1 C ⋅ e C t c 1

Estamos quase chegando na nossa resposta não desista!

Substituindo tudo na nossa E.D.O temos:

θ = c 1 e - C t + a t - 1 C

Fazendo t = 0 , c 1 = θ ' + a C , agora pra finalizar vamos substituir θ por T - T 0 , assim temos:

T = T i - T 0 + a C e - C t + a t - 1 C + T 0

Só pra lembrar esse T i que apareceu é porque nosso θ ' é uma condição de contorno com

t = 0 logo T = T i .

Passo 3

(b)

Vamos lá está quase acabando, nossa letra b nos pede o gráfico da equação da letra (a), usando um software vamos usar nossa equação pra analisar o decaimento da temperatura ao longo de uma hora, assim temos:

A linha azul representa a temperatura da esfera, a linha vermelha tracejada representa a temperatura ambiente

Para tempos pequenos nossa temperatura decai rapidamente pois a diferença de temperatura é grande.

Pouco antes dos 20 minutos as temperaturas da esfera e do ambiente são iguais, ou seja, não há fluxo de calor, e com o passar do tempo a diferença de temperatura é constante, isso nos diz que, o fluxo será constante.

Ufa! Finalmente terminamos!

Resposta

(a)

T = T i - T 0 + a C e - C t + a t - 1 C + T 0

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