Enunciado

Considere o modelo simples de lei de potência para um fluido não newtoniano dado pela Eq. 2.16. Estenda a análise da Seção 8.2 para mostrar que o perfil de velocidade da lei de potência para escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido entre placas paralelas separadas pela distância 2h pode ser escrito:

u = h k . Δ p L 1 n . n h n + 1 1 - y h n + 1 n

Em que y é a coordenada medida a partir da linha de centro do canal. Trace um gráfico dos perfis u / U m á x versus y / h para n = 0,7 ; 1,0 e 1,3 .

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que devemos fazer é desenhar o volume de controle para o problema, então, pegando um elemento diferencial qualquer, teremos:

Agora, com o volume de controle, podemos aplicar a equação para o equilíbrio de momento na direção x , dada por:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Então, como temos regime permanente, a derivada no tempo será igual a zero, além disso, temos também escoamento totalmente desenvolvido, de forma que a integral sobre a superfície de controle será igual a zero. E, por fim, iremos desprezar as forças de campo na direção x , de modo que F B x = 0 . Então, a equação acima só irá contar com os termos de força de superfície, de modo que ela se tornará:

p w d y + τ + ∂ τ ∂ y d y w d x - τ w d x - p + ∂ p ∂ x d x w d y = 0

p w d y + τ w d x + ∂ τ ∂ y w d x d y - τ w d x - p w d y - ∂ p ∂ x w d x d y = 0

Então, eliminando os termos em comum, temos:

∂ τ ∂ y w d x d y - ∂ p ∂ x w d x d y = 0 → ∂ τ ∂ y = ∂ p ∂ x

Passo 2

Agora, sabemos que τ é função de y e p é função de x , então, desse modo sabemos que:

∂ τ ∂ y = ∂ p ∂ x = c t e

Então, integrando os dois lados da equação em y , teremos:

τ = y ∂ p ∂ x

No entanto, sabemos que podemos escrever a tensão de cisalhamento como:

τ = k d u d y n

Dessa forma, igualando as duas expressões para a tensão de cisalhamento, temos:

y ∂ p ∂ x = k d u d y n

E, para o nosso caso, temos que:

∂ p ∂ x = - Δ p L

Então, a equação acima se torna:

- y Δ p L = k d u d y n → d u d y = - 1 k . Δ p L 1 n y 1 n

Passo 3

Agora, integrando a expressão do passo 2 dos dois lados em y , temos:

u = ∫ - 1 k . Δ p L 1 n y 1 n → u = - 1 k . Δ p L 1 n . 1 1 n + 1 y 1 n + 1 + c

u = - 1 k . Δ p L 1 n . 1 1 + n n y 1 + n n + c

u = - 1 k . Δ p L 1 n . n n + 1 y 1 + n n + c

No entanto, nós sabemos que temos velocidade igual a zero na parede, de forma que a condição de contorno será:

y = h → u = 0

Então, substituindo esses valores na expressão anterior, podemos descobrir o valor de c :

0 = - 1 k . Δ p L 1 n . n n + 1 h 1 + n n + c → c = 1 k . Δ p L 1 n . n n + 1 h 1 + n n

Então, a equação para a velocidade será:

u = - 1 k . Δ p L 1 n . n n + 1 y 1 + n n + 1 k . Δ p L 1 n . n n + 1 h 1 + n n

Colocando o termo em comum em evidência, temos:

u = 1 k . Δ p L 1 n . n n + 1 . h n + 1 n 1 - y h n + 1 n

Rearranjando a equação para que ela fique igual a dada no enunciado, separando as potências de h , temos:

u = h k . Δ p L 1 n . n h n + 1 1 - y h n + 1 n

Passo 4

Agora, vamos plotar o gráfico dos perfis u / U m á x versus y / h para n = 0,7 ; 1,0 e 1,3 . Então, usando a equação obtida no passo 3, temos:

Resposta

u = h k . Δ p L 1 n . n h n + 1 1 - y h n + 1 n

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