Enunciado

Considere novamente o tubo anular representado na Figura P 9 - 91 . Suponha que a pressão seja constante em todos os pontos (não há gradiente de pressão empurrando o escoamento). Porém, suponha que a parede interna esteja se movendo a uma velocidade constante V para a direita. A parede externa ainda está estacionária. (Esse é um tipo de escoamento de Couette axis-simétrico). Encontre uma expressão para a componente de velocidade u em função de r e de outros parâmetros do Problema.

Passo 1

Para começar, vamos retomar qual é a situação apresentada na Figura P 9 - 91 . Tínhamos um líquido com propriedades constantes ( ρ ,   μ ) escoando no espaço entre dois cilindros.

Os dois cilindros eram fixos e o escoamento ocorria devido à existência de um diferencial de pressão constante ao longo da tubulação. Tudo bem até aqui?

Agora, o exercício propõe uma nova situação em que não há mais o diferencial de pressão e, que o escoamento ocorre devido à movimentação do cilindro interno com velocidade V constante. Ou seja, a situação que vamos trabalhar é:

Vamos lá?

Passo 2

O primeiro passo para chegarmos ao perfil de velocidades é a aplicação da equação da continuidade para coordenadas cilíndricas:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r r ρ u r + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ x ρ u = 0

Assumindo que estamos em um processo estacionário e, que apenas a componente u da velocidade é não-nula:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

u r = 0 → 1 r ∂ ∂ r r ρ u r = 0 ;

u θ = 0 → 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ = 0

Então, a equação da continuidade é reduzida à :

∂ ∂ x ρ u = 0

ρ ∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ x = 0

Podemos concluir então que a velocidade u não depende da direção x . Ou seja:

u = u ( r )

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidade será aplicar a equação de Navier-Stokes.

Passo 3

Como o escoamento só ocorre na direção x , vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para esta componente:

ρ ∂ u ∂ t + u r ∂ u ∂ r + u θ r ∂ u ∂ θ + u ∂ u ∂ x = - ∂ P ∂ x + ρ g x + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 + ∂ 2 u ∂ x 2

Vamos agora olhar os termos do lado esquerdo da equação.

Sabemos que o processo ocorre em regime permanente. Além disso, as componentes de velocidade u r e u θ são nulas e, pela equação da continuidade vimos que u = u ( r ) . Então,

∂ u ∂ t = 0 ;

u r = 0 → u r ∂ u ∂ r = 0 ;

u θ = 0 → u θ r ∂ u ∂ θ = 0 ;

∂ u ∂ x = 0 → u ∂ u ∂ x = 0

Então, o lado esquerdo da equação se reduz à:

ρ 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora verificar os termos do lado direito.

Para esta situação, a pressão é constante em todos os pontos da tubulação. Além disso, não temos ação da força gravitacional e, vale relembrar que u = u ( r ) . Assim:

∂ P ∂ x = 0 ;

ρ g x = 0 ;

∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 → 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 ;

∂ 2 u ∂ x 2 = 0

E a equação de Navier-Stokes fica:

0 = 0 + 0 + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 0 + 0

μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r = 0

∂ ∂ r r ∂ u ∂ r = 0

Passo 4

Como a derivada em relação à r é nula podemos dizer que:

r ∂ u ∂ r = C 1

Em que C 1 é uma constante. Continuando:

∂ u ∂ r = C 1 r

Integrando os dois lados da equação em relação à ∂ r :

∫ ∂ u ∂ r ∂ r = ∫ C 1 r ∂ r

u = C 1 ln ⁡ r + C 2

Para obter as constantes C 1 e C 2 vamos aplicar as condições de contorno para o problema. Pelo princípio da aderência sabemos que u f l u i d o = u s u p e r f í c i e . Então, nossas condições de contorno são:

u r = R i = V

u r = R o = 0

Passo 5

Aplicando estes valores no perfil de velocidades ficamos com:

V = C 1 ln ⁡ R i + C 2

0 = C 1 ln ⁡ R o + C 2

Subtraindo a primeira equação da segunda:

0 - V = C 1 ln ⁡ R o - ln ⁡ R i + C 2 - C 2

- V = C 1 ln ⁡ R o R i → C 1 = - V ln ⁡ R o R i

Substituindo C 1 na primeira relação:

V = - V ln ⁡ R o R i ln ⁡ R i + C 2 → C 2 = V 1 + ln ⁡ R i ln ⁡ R o R i

Se aplicarmos as constantes no perfil de velocidade ficaremos com:

u = - V ln ⁡ R o R i ln ⁡ r + V 1 + ln ⁡ R i ln ⁡ R o R i

u = V 1 + ln ⁡ R i ln ⁡ R o R i - ln ⁡ r ln ⁡ R o R i

u = V 1 + ln ⁡ R i r ln ⁡ R o R i

u = V 1 - ln ⁡ r R i ln ⁡ R o R i

Resposta

O perfil de velocidades para este caso é :

u = V 1 - ln ⁡ r R i ln ⁡ R o R i

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere um escoamento permanente, incompressível, laminar de um fluido newtoniano em um tubo redondo infinitamente longo de diâmetro D ou raio R = D / 2 inclinado de um ângulo α (Figura P 9 - 95 ).
Considere o escoamento permanente, incompressível, laminar de um fluido newtoniano em um escoamento anular redondo infinitamente longo com raio interno R i e raio externo R o . Ignore os efeitos da gr
Explique por que a aproximação de escoamento incompressível e a aproximação de temperatura constante usualmente caminham lado a lado.
Analise e discuta um caso limite do Problema 9 - 89 no qual não há cilindro interno ( R i = ω i = 0 ). Encontre uma expressão de u θ em função de r . Que tipo de escoamento é este? Descreva como esse