Enunciado

Analise e discuta dois casos limites do Problema 9 - 87 .

(a) O espaçamento é muito pequeno. Mostre que o perfil de velocidade se aproxima de uma função linear da parede do cilindro externo até a parede do cilindro interno. Em outras palavras, para um espaçamento muito pequeno o perfil de velocidade se reduz àquele de um escoamento Couette simples bidimensional.

(b) O raio do cilindro externo se torna infinito enquanto o raio do cilindro interno se torna muito pequeno. Isso é uma aproximação de que tipo de escoamento?

Passo 1

Vamos começar relembrando alguns pontos do Problema 9 - 87 . A situação apresentada neste problema era a seguinte:

Temos um líquido com propriedades constantes ( ρ , μ ) confinado no espaço entre dois cilindros concêntricos. O cilindro externo gira com uma velocidade angular ω i , enquanto o cilindro externo encontra-se parado. Tudo bem até aqui?

Agora que retomamos o princípio do Problema 9 - 87 podemos começar este exercício. No item (a), devemos considerar uma condição limite em que o espaçamento entre os cilindros é muito pequeno. Ou seja, algo assim:

Vamos ver como será o perfil de velocidade para este caso.

Passo 2

Para começar, vamos dar um zoom na figura e adicionar o nosso eixo de coordenadas:

Espera...isso lembra alguma coisa?

Exatamente!!! Nesta condição limite o que acontece é que o espaço entre os cilindros é tão pequeno que podemos desprezar o efeito da curvatura e aproximar nosso problema para um escoamento Couette entre duas placas planas. Tudo bem até aqui?

Vamos agora partir para a determinação do perfil de velocidade. Para isso, começamos com a equação da continuidade para coordenadas cartesianas:

∂ ρ ∂ t + ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Assumindo que estamos na condição de regime permanente e que as velocidades nas direções y e z são nulas:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

∂ v ∂ y = 0 ;

∂ w ∂ z = 0

Então, nossa equação se reduz à:

ρ ∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ x = 0

Ou seja, a velocidade u não depende de x . O que é equivalente dizer que:

u = u ( y )

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidade será aplicar a equação de Navier-Stokes. Vamos lá?

Passo 3

Como o fluido só está escoando na direção x vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para a componente x . Ela é dada por:

ρ ∂ u d t + u ∂ u d x + v ∂ u d y + w ∂ u d z = - d P d x + ρ g x + μ ∂ 2 u d x 2 + ∂ 2 u d y 2 + ∂ 2 u d z 2

Como estamos em um processo estacionário, v e w são nulas e u = u ( y ) , os termos do lado esquerdo da equação são:

∂ u d t = 0 ;

∂ u d x = 0 ;

v ∂ u d y = 0 ;

w ∂ u d z = 0 ;

Ou seja,

ρ ∂ u d t + u ∂ u d x + v ∂ u d y + w ∂ u d z = ρ × 0 + u × 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora olhar para o lado direito da equação. O fluido escoa apenas devido à movimentação da placa (cilindro) superior, sem sofrer ação de um diferencial de pressão ou da força gravitacional. Então:

d P d x = 0 ;

ρ g x = 0

Além disso, vimos pela equação da continuidade que u = u ( y ) , ou seja,

∂ 2 u d x 2 = 0 ;

∂ 2 u d z 2 = 0

Nossa equação se reduz à:

μ ∂ 2 u d y 2 = 0

∂ 2 u d y 2 = 0

Passo 4

Se a segunda derivada de u em relação à y é zero, isso implica que:

∂ u ∂ y = C 1

Em que C 1 é uma constante. Integrando em relação à y :

∂ u = C 1 ∂ y

∫ ∂ u = ∫ C 1 ∂ y

u = C 1 y + C 2

Já podemos ver que o perfil de velocidade é uma função linear, assim como foi dito no enunciado. Mas, para finalizar vamos aplicar as condições de contorno para a velocidade u para obter C 1 e C 2 . As condições de contorno são:

u y = 0 = ω i r i

u y = h = 0

Sendo que h é o espaçamento entre os cilindros.

Aplicando estas condições ficamos com:

ω i r i = C 1 × 0 + C 2 → C 2 = ω i r i

0 = C 1 h + C 2 → C 1 = - C 2 h = - ω i r i h

Substituindo as constantes no perfil:

u = - ω i r i h y + ω i r i

u = ω i r i 1 - y h

Passo 5

Vamos agora para o item (b). Neste item, o que acontece é que agora o cilindro externo é muito maior que o interno, ou seja, o espaçamento tende a infinito. Vamos ver o que acontece nesse caso:

Neste caso, o cilindro externo está tão afastado que podemos desprezar seu efeito no perfil de escoamento. Nesta situação limite o cilindro interno é a única geometria relevante para a deformação do fluido, de forma que podemos considerar que o fluido apenas escoa na superfície exterior de um cilindro, ao invés de estar em um espaço anular.

Este tipo de aproximação chamamos de escoamento externo. A principal diferença entre esta situação e as propostas no item (a) e no Problema 9 - 87 é que, apesar de haver dissipação de energia até que a velocidade do fluido atinja u = 0 , isto ocorrerá devido ao atrito entre as camadas de fluido e não mais pela presença da segunda geometria ( u = u p l a c a = 0 , pelo princípio da aderência).

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Para esta situação limite podemos aproximar o escoamento para um escoamento externo sobre a superfície de um cilindro.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falsa e discuta rapidamente sua resposta. Para cada afirmação considere as condições de contorno apropriadas e as propriedades do fluido conhecidas.(a) U
Liste os seis passos usados para resolver as equações de Navier-Stokes e da continuidade para escoamento incompressível com propriedades constantes do fluido.
Discuta a relação entre taxa de deformação volumétrica e a equação da continuidade. Apoie sua discussão nas definições fundamentais.
Para o filme de óleo em movimento descendente no Problema 9 - 101 , calcule a vazão em volume por unidade de largura do óleo descendo pela parede ( V ˙ / L ) em função da velocidade V da parede e de o
Repita o Exemplo 9 - 17 , no caso em que a parede está se movendo para cima com velocidade V . Como verificação, certifique-se de que o seu resultado coincida com aquele do Exemplo 9 - 17 quando V = 0