Enunciado

Considere um organismo esférico de raio r o no interior do qual ocorre respiração a uma taxa volumétrica uniforme de N ˙ A =   – k 0 . Isto é, o consumo de oxigênio (espécie A) é governado por uma reação química homogênea de ordem zero.

(a) Se uma concentração molar de C A ( r o ) = C A , o for mantida na superfície do organismo, obtenha uma expressão para a distribuição radial de oxigênio, C A ( ρ ) , no interior do organismo. Com base em sua solução, você pode perceber algum limite na aplicação do resultado?

(b) Obtenha uma expressão para a taxa de consumo de oxigênio no interior do organismo.

(c) Considere um organismo de raio r o =   0,10   m m e um coeficiente de difusão para a transferência do oxigênio de D A B = 10 - 8   m 2 / s . Sendo C A , o = 5   x   10 - 5   k m o l / m 3 e k 0 =   1,2   x   10 - 4   k m o l / ( s   ·   m 3 ) , qual é a concentração molar do O 2 no centro do organismo?

Passo 1

Nessa questão nós temos o raio de um organismo esférico, concentração molar de oxigênio na superfície e os coeficientes de difusão e taxa de reação.

Com essas informações vamos encontrar a distribuição radial da concentração de O 2 , a taxa de consumo de O 2 e a concentração molar em r   =   0 . Vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Difusão unidimensional em estado estacionário;

(2) Meio estacionário;

(3) Concentração molar total uniforme;

(4) Propriedades constantes ( k 0 ,   D A B ) .

Para as condições e suposições dadas temos,

D A B r 2 d d r r 2 d C A D R - k 0 = 0

r 2 d C A d r = k 0 r 3 3 D A B + C 1

C A = k 0 r 2 6 D A B - C 1 R + C 2

Com o requisito de que C A   ( r ) permaneça finito em r = 0 ,   C 1 = 0 . Com C A   ( r o ) =   C A , o :

C 2 = C A , o - k 0 r o 2 6 D A B

C A = C A , o - k 0 6 D A B ( r o 2 - r 2 )

Como a C A não pode ser menor que zero em qualquer local do organismo, o lado direito da equação acima deve sempre exceder zero, colocando limites no valor de C A , o . O menor valor possível de C A , o é determinado a partir do requisito de que C A ( 0 ) ≥ 0 , nesse caso:

C A , o ≥ k 0 r 2 6 D A B

Passo 3

Como o consumo de oxigênio ocorre a uma taxa volumétrica uniforme de k 0 , a taxa total de respiração é R ˙ = ∀ k 0 e ou,

R ˙ = 4 3 π r o 3 k 0

Passo 4

Com r = 0 ,

C A 0 = C A , o - k 0 r o 2 6 D A B

C A 0 = 5 ×   10 - 5 k m o l m 3 - 1,2 × 10 - 4 k m o l s . m 3 10 - 4 m 2 6 × 10 - 8   m 2 / s

C A 0 = 3 ×   10 - 5 k m o l m 3

Resposta

  1. C A , o ≥ k 0 r 2 6 D A B
  2. R ˙ = 4 3 π r o 3 k 0
  3. C A 0 = 3 ×   10 - 5 k m o l m 3
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