Enunciado

Uma esfera pesada fixada em uma corda se deslocaria um ângulo θ quando imersa em uma corrente de velocidade U, como na Figura P7.80. Deduza uma expressão para u em função das propriedades da esfera e do escoamento. Qual o valor de θ se a esfera for de aço (d = 7,86) de 3 cm de diâmetro e o escoamento for de ar padrão ao nível do mar com U = 40 m/s? Despreze o arrasto da corda.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos uma esfera de aço ( ρ e = 7860   k g / m ³ ) de diâmetro D = 0,03   m fixada em uma corda, que se desloca um ângulo θ quando imersa em uma corrente de ar de velocidade U = 40   m / s , como demonstra a figura que ilustra a questão.

A questão nos pede pra encontrar uma expressão para θ , e pra isso a gente vai ter que descobrir quais forças atuam nesse sistema.

Nos próximos passos, a gente vai descobrir como relacionar as forças atuando nesse sistema e usá-las pra encontrar uma expressão para θ , além de calcular o valor numérico correspondente.

Pra isso vamos lembrar que para o ar a 20 ° C a massa específica é ρ a r = 1,2   k g / m ³ e a viscosidade μ = 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s .

Pronto, vamos resolver essa questão juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos entender quais forças estão atuando no sistema. Pra isso, vamo olhar esse esquema abaixo:

Temos então, a tração da corda T , o peso da esfera P e a força de arrasto F A do escoamento.

Como dá pra notar, temos um triângulo retângulo sendo formado entre as forças P e F A . Basta que a gente faça uma relação trigonométrica simples:

tg ⁡ θ = P F A → θ = tg - 1 ⁡ P F A

A força de arrasto pode ser calculada como:

F A = C A ρ a r U ² 2 A

Sendo: C A o coeficiente de arrasto da geometria; e A = π 4 D ² , a área da esfera.

Além disso, o peso P , já considerando o empuxo causado pelo ar, pode ser calculado como:

P = ρ e - ρ a r g V

Sendo: g = 9,81   m / s ² a aceleração da gravidade e V = π D 3 6 o volume da esfera.

Logo, nossa expressão pra θ se torna:

θ = tg - 1 ⁡ 4 ρ e - ρ a r g D 3 C A ρ a r U ²

Passo 3

Pra resolver a questão, devemos calcular o coeficiente de arrasto C A .

Pra isso, primeiro temos que calcular o número de Reynolds:

R e = ρ U D μ = 1,2   k g / m ³ 40   m / s 0,03   m   1,8 × 10 - 5 P a ∙ s = 8 × 10 4

Sendo assim, vamo na Figura 7.16 (b) na página 492:

E achamos C A ≈ 0,5   .

Agora podemos finalizar a questão e calcular θ :

θ = tg - 1 ⁡ 4 7860 k g m 3 - 1,2 k g m 3 9,81 m s 2 ( 0,03   m ) 3 0,5 1,2 k g m 3 40 m s ² = tg - 1 ⁡ 3,212

θ = 72,7 °

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O ângulo que a esfera desloca a corda é θ = 72,7 °

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