Enunciado

Considere uma parede plana unidimensional com propriedades constantes e geração interna uniforme q ˙ . A sua superfície esquerda encontra-se isolada e a superfície direita é mantida a uma temperatura uniforme.

(a) Usando a forma apropriada da equação do calor, deduza uma expressão para a dependência em relação a x do fluxo térmico em regime estacionário q " ( x ) .

(b) Usando um volume de controle finito, que se estende na faixa de 0   ≤   x   ≤   ξ , deduza uma expressão para q " ( ξ ) e compare a expressão obtida com seu resultado da parte (a).

Passo 1

Nessa questão nós temos uma parede plana com propriedades constantes e geração uniforme de energia volumétrica, onde a face esquerda isolada e a face direita são isotérmicas.

O enunciado nos pede para encontrar a expressão para a distribuição do fluxo de calor com base na equação do calor e a expressão para a distribuição do fluxo de calor com base em um volume de controle finito. Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que estamos em condição de estado estacionário, as propriedades são constantes, a geração volumétrica é uniforme e a condução é unidimensional.

Na letra (a) queremos uma expressão para a dependência em relação a x do fluxo térmico em regime estacionário usando a equação do calor, que pode ser escrita como:

d 2 T d x 2 = d d x d T d x = - q ˙ k

A equação do calor pode ser integrada, obtendo:

d T d x = - q ˙ k x + C 1

E como para x = 0 :

d T d x = 0 ,   C 1 = 0

Então,

- k d T d x = q ' ' x = - q ˙ x

Passo 3

Na letra (b) queremos uma expressão para q " ( ξ ) ,   comparando com a expressão anterior. Para o volume finito de controle, E ˙ g = E ˙ s a i   , e para uma área de seção transversal da unidade:

q ˙ ξ = - k d T d x

Que pode ser escrito como:

- k d T d x = q ' ' x = - q ˙ ξ = - q ˙ x ˙

Então, as expressões da (a) e da (b) são idênticas.

Resposta

  1. - k d T d x = q ' ' x = - q ˙ x
  2. - k d T d x = q ' ' x = - q ˙ x
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