Enunciado

76 – Difusão em condições de estado estacionário e unidimensional existe dentro do cilindro composto mostrado. Os três materiais possuem condutividades térmicas de kA, kB=2kA, kC=kA, respectivamente. Uma geração volumétrica uniforme de energia, q ˙ , ocorre dentro do material B, havendo resistência a condução de rA até rB. O cilindro é colocado dentro de uma câmara de vácuo, na qual somente perda por radiação ocorre em r=rC.

(A) Escreva a forma apropriada da equação do calor para cada um dos três materiais.

(B) Escreva uma expressão para a temperatura T(rC) em termos das variáveis relevantes fornecidas acima, a temperatura da vizinhança TViz, e a emissividade da superfície exposta.

Passo 1

Você pode iniciar estabelecendo as considerações:

-propriedades constantes;

-estado estacionário;

-condução unidimensional;

-geração de energia na forma de calor uniforme;

-resistência a condução apenas no material B;

-a superfície externa do material C está sujeita a radiação.

Passo 2

Pelo balanço de energia em termos do balanço de energia térmica:

q c o n d + q c o n v + q r a d = q g             E q 1

Onde,

-qcond é taxa de transferência de calor por condução;

-qconv é a taxa de transferência de calor por convecção;

-qrad é a taxa de transferência de calor por radiação;

-qg é a taxa de geração de calor;

A Eq1 será a eq. base para modelarmos as eq’s do calor para cada material.

Passo 3

(A)

Material A:

Nesse material, não há geração de energia térmica, e também não tem fluido em contato e nem há efeitos de calor por radiação, assim

q c o n v ( A ) = q r a d ( A ) = q g ( A ) = 0

Como não há resistência entre de rA até r0 (centro):

Pela Lei de Fourier

q c o n d ( A ) = k A A A ( T A - T 0 )

q c o n d ( A ) = k A 2 π r A L ( T A - T 0 )

Onde,

T A = T r A   e   T 0 = T ( r 0 )

Passo 4

Material B:

Nesse material, há geração de energia volumétrica de forma uniforme, e também não tem fluido em contato e nem há efeitos de calor por radiação, e há existência de resistência ao transporte de calor entre rA e rB, assim

q c o n d ( B ) = V B q ˙

Como há resistência entre de rA até rB:

q c o n d ( B ) = T B - T A ln ⁡ r B r A 2 π L k B = V B q ˙

Onde,

T A = T r A   e   T B = T ( r B )

Como

k B = 2 k A

q c o n d ( B ) = T B - T A ln ⁡ r B r A 4 π L k A = V B q ˙

Passo 5

Material C:

Nesse material, não há geração de energia térmica, e também não tem fluido em contato, mas tem efeitos de calor por radiação, assim

q c o n d ( C ) - q r a d C = 0

q c o n d ( C ) = q r a d C

Como não há resistência entre de rA até r0 (centro):

Pela Lei de Fourier

q c o n d ( C ) = k C A C ( T A - T 0 )

q c o n d ( C ) = k C 2 π ( r C - r B ) L T C - T B

Como

k C = k A

q c o n d ( C ) = k A 2 π ( r C - r B ) L T C - T B

Onde,

T C = T r C  

Pela equação da transferência de calor por radiação

q r a d C = ε σ A T C 4 - T V i z 4 = 2 π r C L ε σ T C 4 - T V i z 4

Onde,

-ε é a emissividade do meio;

-σ é a constante de Stefan-Boltzmann, σ=5,67x10-8 W/m2.K4;

-TViz é a temperatura da vizinhança;

-L é o comprimento do cilindro.

Assim,

q c o n d ( C ) = k A 2 π r C - r B L T C - T B = 2 π r C L ε σ T C 4 - T V i z 4

Passo 6

(B)

Distribuição de T:

Como se trata de um cilindro, então pela Eq. Global do calor para um cilindro, em coordenadas cilíndricas (r, θ, z):

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + 1 r 2 ∂ ∂ θ k ∂ T ∂ θ + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Onde,

-r é a coordenada radial;

-θ é a coordenada angular;

-z é a coordenada axial;

- q ˙ , é geração volumétrica de energia;

-T é a temperatura;

-k é a condutividade térmica;

-cp é o calor especifico;

-ρ é a densidade;

-t é o tempo;

Como se trata de estado estacionário, então

∂ T ∂ t = 0

Pela transferência de calor unidimensional (transferência de calor na direção radial, r)

∂ T ∂ θ = 0 ;   ∂ T ∂ z = 0

E com geração volumétrica de energia, assim a eq. global da transferência de calor é simplificada para:

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + q ˙ = 0

Passo 7

Esta equação é uma equação diferencial (ED), vamos usar uma técnica então para resolve-la chamada separação de variáveis

Resolvendo por separação de variáveis:

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r = - q ˙

∂ ∂ r r ∂ T ∂ r = - q ˙ r k

Integrando em relação a r

∫ ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r d r = ∫ - q ˙ r d r

k r ∂ T ∂ r = - q ˙ r 2 2 k + c 1

∂ T ∂ r = - q ˙ r 2 k + c 1 r

Integrando novamente em relação a r

∫ ∂ T ∂ r d r = ∫ - q ˙ r 2 k d r

T r = - q ˙ 4 k r 2 + c 1 ln ⁡ r + c 2

Passo 8

Aplicando as condições de contorno:

d T d r = 0   e m   r = 0   ( c e n t r o )

T r C = T C

Vamos achar que:

c 1 = 0 ;   c 2 = T C + q ˙ 4 k r C 2

Portanto,

T r = - q ˙ 4 k r 2 + T C + q ˙ 4 k r C 2

T r = q ˙ 4 k r C 2 - r 2 + T C

Essa é a expressão da distribuição de temperatura em função do raio

Passo 9

Para determinarmos T(rC), vamos aplicar um balanço de energia global no sistema:

Pela Eq1:

q c o n d + q c o n v + q r a d = q g

Como analise global, não temos convecção (pois não tem fluido em contato com os materiais) e nem condução de calor (só temos condução de calor no interior dos materiais), assim

q r a d = q g

Pela expressão da radiação

q r a d C = ε σ A T C 4 - T V i z 4 = 2 π r C L ε σ T C 4 - T V i z 4

E encontramos também que:

T B - T A ln ⁡ r B r A 4 π L k A = V B q ˙

Isolando o termo da geração de energia:

q ˙ = T B - T A V B ln ⁡ r B r A 4 π L k A

Onde,

-VB é o volume do cilindro B;

O volume do cilindro B é dado por:

V B = π r B - r A 2 L

Assim,

2 π r C L ε σ T C 4 - T V i z 4 = T B - T A π r B - r A 2 L ln ⁡ r B r A 4 π L k A

π r C L ε σ T C 4 - T V i z 4 = 2 k A ( T B - T A ) r B - r A 2 ln ⁡ r B r A

Isolando TC:

T C 4 = 2 k A ( T B - T A ) π r C Lεσ r B - r A 2 ln ⁡ r B r A + T V i z 4

T C = 2 k A T B - T A π r C Lεσ r B - r A 2 ln ⁡ r B r A + T V i z 4 1 4

Resposta

A)

q c o n d ( A ) = k A 2 π r A L ( T A - T 0 )

q c o n d ( B ) = T B - T A ln ⁡ r B r A 4 π L k A = V B q ˙

q c o n d ( C ) = k A 2 π r C - r B L T C - T B = 2 π r C L ε σ T C 4 - T V i z 4

B) T C = 2 k A T B - T A π r C Lεσ r B - r A 2 ln ⁡ r B r A + T V i z 4 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um bastão de metal de comprimento 2L, diâmetro D e condutividade térmica k está encravado em uma parede de um isolante perfeito, expondo a metade do seu comprimento a uma corrente de ar que se encontr
No Problema 1.71, considere os terminais que conectam o transistor à placa do circuito. Estes terminais possuem condutividade térmica k, espessura t, largura w e comprimento L. Uma extremidade do term
Considere uma superfície estendida de seção transversal retangular com transferência de calor na direção longitudinal. Nesse problema procuramos determinar condições nas quais a diferença de temperatu
Em um teste para determinar o coeficiente de atrito μ associado a um disco de freio, um disco e o seu eixo giram a uma velocidade angular constante v, enquanto um conjunto equivalente disco/eixo perma
Distribuições de temperaturas no interior de uma série de paredes planas no instante inicial, no regime estacionário e em alguns tempos intermediários têm a forma mostrada na figura.Para cada caso, es