Enunciado

Considere um pedaço cilíndrico de carne de cordeiro ρ = 1030 k g m 3 ,   c p = 3,49 k J k g K ,   k = 0,456 W m K   e   α = 1,3 × 10 - 7 m 2 s de 7,6 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro. Quinze pedaços de carne inicialmente a 2°C são colocados em água fervente a 95°C com um coeficiente de transferência de calor de 1200 W m 2 K . A quantidade de calor transferido durante os primeiros 8 minutos de cozimento é:

a) 71 kJ;

b) 227 kJ;

c) 238 kJ;

d) 269 kJ;

e) 307 kJ.

Passo 1

Boom galera, muita calma nessa hora !!

Primeiro, nós queremos achar o que?

O calor transferido para a carne, certo?

Para isso vamos usar a equação para uma geometria bidimensional formada pela interseção de duas geometrias unidimensionais, que no caso é uma parede e um cilindro:

Q Q m a x t o t a l = Q Q m a x p a r e d e + Q Q m a x c i l i n d r o × 1 - Q Q m a x p a r e d e

Para começo de conversa vamos achar Q m a x , olhando a fórmula:

Q m a x = N m c p T ∞ - T i

Se:

N = 15   p e d a ç o s  

T ∞ = 95 ° C

T i = 2 ° C

c p = 3,49 k J k g K

Agora só precisamos da massa, mas isso é moleza!! Vamos usar a densidade:

ρ = m V

Por ser um cilindro:

ρ = m π D 2 L 4

Como:

D = 0,03   m

L = 0,076   m

ρ = 1030 k g m 3

Então:

1030 k g m 3 = m π 0,03   m 2 0,076   m 4

m = 0,055   k g

Achando o calor máximo:

Q m a x = 15 0,055   k g 3 , 49 k J k g K 95 ° C - 2 ° C

Q m a x = 26 7,77   k J

Passo 2

Agora nós precisamos achar as transferências de calor fracionárias para as diferentes geometrias, não é?

Começando pela parede:

Q Q m a x p a r e d e = 1 - θ 0 , p a r e d e . sin ⁡ λ λ  

Para calcular λ nós precisamos achar o número de Biot:

B i = h L c k

Sabemos que:

h = 1200 W m 2 K

k = 0,456 W m K

L c = L 2 = 0,076   m 2 = 0,038   m

Agora é só calcular o Biot:

B i = 1200 W m 2 K 0,038 m 0,456 W m K = 100

Olhando a Tabela:

Nós vemos que:

λ = 1,5552

A = 1,2731

Com estes dados nós conseguimos achar outro termo, o θ 0 ,   p a r e d e :

θ 0 ,   p a r e d e = T ( x , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A e - λ ² τ

Só precisamos do tempo adimensional, se lembram como?

τ = α t L c ²

Temos que:

α = 1,3 × 10 - 7 m 2 s

t = 8   m i n × 60   s 1   m i n = 480   s

Agora é só calcular:

τ = 1,3 × 10 - 7 m 2 s 480   s 0,038   m ² = 0,043

Agora temos tudo o que precisamos, não é mesmo?

θ 0 ,   p a r e d e = 1,2731 e - 1,5552 2 0,043

θ 0 ,   p a r e d e = 1,1473

E quando você acha que acabou, acabou foi nadaaa!!!

Nós precisamos do calor, não é?

Então é só substituir:

Q 267,77 p a r e d e = 1 - 1,1473 . sin ⁡ 1,5552 1,5552

Q 267,77 p a r e d e = 0,2637

Passo 3

Agora nós precisamos do calor fracionário do cilindro:

Q Q m a x c i l i n d r o = 1 - 2 θ 0 , c i l i n d r o . J 1 ( λ ) λ  

Para calcular λ nós precisamos achar o número de Biot:

B i = h r 0 k

Sabemos que:

h = 1200 W m 2 K

k = 0,456 W m K

r 0 = d 2 = 0,0 3   m 2 = 0,0 15   m

Agora é só calcular o Biot:

B i = 1200 W m 2 K 0,0 15 m 0,456 W m K = 39,4

Olhando a Tabela:

Como não temos o valor de Biot nós precisamos interpolar:

λ = λ B i 1 + B i - B i 1 λ   B i 2 - λ   B i 1 B i 2 - B i 1

A = A B i 1 + B i - B i 1 A   B i 2 - A   B i 1 B i 2 - B i 1

Usando os dados para um cilindro:

B i 1 = 3 0 →   λ   B i 1 = 2 , 3261     e       A   B i 1 = 1 , 5973

B i 2 = 4 0 →   λ   B i 2 = 2 , 3455     e         A   B i 2 = 1 , 5993

Substituindo:

λ = 2,3261 + 39,4 - 30 2,3455 - 2,3261 40 - 30 = 2,3443

A = 1,5973 + 39,4 - 30 1,5993 - 1,5973 40 - 30 = 1,599

Com entes dados nós podemos calcular mais um termo:

J 1 λ = J 1 ( 2,3443 )

Maaais uma interpolação:

J 1 λ = J 1 ( λ 1 ) + λ - λ 1 J 1 ( λ 2 ) - J 1 ( λ 1 ) λ 2 - λ 1

Usando:

λ 1 = 2,3       →     J 1 λ 1 = 0,5 399

λ 4 = 2 , 4       →     J 1 λ 2 = 0,5202

Calculando:

J 1 λ = 0,5399 + 2,3443 - 2,3 0,5202 - 0,5399 2,4 - 2,3 = 0,531

Com estes dados nós conseguimos achar outro termo, o θ 0 ,   c i l i n d r o :

θ 0 ,   c i l i n d r o = T ( x , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A e - λ ² τ

Só precisamos do tempo adimensional, se lembram como?

τ = α t L c ²

Temos que:

α = 1,3 × 10 - 7 m 2 s

t = 8   m i n × 60   s 1   m i n = 480   s

Agora é só calcular:

τ = 1,3 × 10 - 7 m 2 s 480   s 0,0 15   m ² = 0 , 277

Agora temos tudo o que precisamos, não é mesmo?

θ 0 ,   c i l i n d r o = 1,599 e - 2,3443 2 0 , 277

θ 0 ,   c i l i n d r o = 0,348

No calor:

Q 267,77 c i l i n d r o = 1 - 2 0 , 348 . 0,531 2,3443

Q 267,77 c i l i n d r o = 0 , 84

Passo 4

Se temos todos os dados só nos resta colocar na fórmula do Passo 1:

Q 267,77 t o t a l = Q 267,77 p a r e d e + Q 267,77 c i l i n d r o × 1 - Q 267,77 p a r e d e

Ou melhor:

Q 267,77 t o t a l = 0,2637 + 0,84 × 1 - 0,2637

Q 267,77 t o t a l = 0,8 8822

Achando o calor:

Q = 236,22   k J

O mais próximo no nossa caso:

Q = 2 38   k J

Galerinha, foi um pouco distante, não é? Mas é isso aí !

Resposta

L e t r a   C   ‼

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