Enunciado

Considere o potencial de velocidade incompressível bidimensional ϕ = x y + x 2 - y 2 . (a) É verdade que ∇ 2 ϕ = 0 , e, em caso afirmativo, o que isso significa? (b) Se ela existe, encontre a função corrente ϕ x , y desse escoamento. (c) Encontre a equação da linha de corrente que passa por x , y = 2,1 .

Passo 1

E simbora pra mais uma!

Bora checar se o que se pede em (a) é verdade, se for, isso vai nos dizer que a continuidade incompressível é satisfeita, assim:

∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 = 0 + 2 - 2 = 0

Logo, ta sendo satisfeita!

Passo 2

Bora usar ϕ para encontrar u   e   v e depois integrar para achar nossa função corrente, assim:

u = ∂ ϕ ∂ x = y + 2 x = ∂ ψ ∂ y → ψ = y 2 2 + 2 x y + f ( x )

Assim,

v = ∂ ϕ ∂ y = x - 2 y = - ∂ ψ ∂ x = - 2 y - d f d x → f x = - x 2 2 + c o n s t a n t e

A função corrente então será dada por:

ψ = 1 2 y 2 - x 2 + 2 x y + c o n s t a n t e

Passo 3

Temos que,

ψ x , y = ψ 2,1 = 1 2 1 2 - 2 2 + 2 2 1 = - 3 2 + 4 = 5 2

Logo,

ψ = 1 2 y 2 - x 2 + 2 x y = 5 2

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