Enunciado

Considere o processo de revestimento por pulverização de plasma citado no Problema 5.25. Além das condições especificadas, sabe-se que o jato de plasma de argônio possui uma velocidade média de V   =   400   m / s , enquanto a velocidade inicial das partículas de alumina injetadas pode ser considerada igual a zero. A saída do bocal e o substrato estão separados por uma distância de L   =   100   m m , e as propriedades pertinentes do plasma de argônio podem ser aproximadas por k   =   0,671   W / ( m   ·   K ) ,   c p   =   1480   J / ( k g   ·   K ) ,   μ   =   2,70   ×   10 - 4   k g / ( s   ·   m )   e   v   =   5,6   ×   10 - 3   m 2   / s .

(a) Supondo que o movimento das partículas arrastadas pelo jato de plasma seja governado pela lei de Stokes, deduza expressões para a velocidade das partículas, V p ( t ) , e para a distância percorrida após a saída do bocal, x p ( t ) , como uma função do tempo, t , com t   =   0 correspondendo ao instante de injeção da partícula. Avalie o “tempo de voo” necessário para que a partícula percorra a distância de separação, x p   =   L , e a velocidade V p nesse instante.

(b) Admitindo uma velocidade relativa média de ( V - V p - ) =   315   m / s durante o percurso, estime o coeficiente convectivo associado à transferência de calor do plasma para a partícula. Usando esse coeficiente e supondo uma temperatura inicial da partícula de T i   =   300   K , estime o “tempo de voo” necessário para aquecer a partícula até o seu ponto de fusão, T p f , e, uma vez a T p f , para que a partícula se funda completamente. O valor de L especificado é suficiente para assegurar a fusão completa da partícula antes do seu impacto com a superfície?

Passo 1

Bora para mais uma questão? 😉 Aqui nós temos a velocidade do jato de plasma e velocidade inicial das partículas em um processo de revestimento por spray de plasma. Temos também a distância da injeção de partículas ao impacto.

Com isso, precisamos encontrar a velocidade das partículas e distância da viagem em função do tempo. Assim como o tempo de voo, velocidade de impacto das partículas, coeficiente de transferência de calor por convecção e tempo necessário para aquecer as partículas até o ponto de fusão e, posteriormente, derretê-las.

Ufa, vamos juntos que a gente consegue encontrar tudinho.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) Há aplicabilidade da lei de Stokes;

(2) As propriedades de partículas e plasma são constantes;

(3) A influência da razão de viscosidade na correlação de Whitaker é desprezível;

(4) Os efeitos de radiação são desprezíveis;

(5) A validade da aproximação de capacitância é concentrada.

Na letra (a) queremos V p ( t ) e x p ( t ) , como uma função do tempo, t , com t   =   0 . O “tempo de voo” necessário para que a partícula percorra a distância de separação, x p   =   L , e a velocidade V p nesse instante.

C D ≡ F D A f ρ V - 2 2 = 24 R e D = 24 ρ V - D p / μ

Onde,

V - ≡ V - V p

É a velocidade relativa e,

A f = π D p 2 / 4

Portanto, a força de arrasto na partícula é,

F D = 3 π μ V - D p = m p d V p d t = - m p d V - d t

Passo 3

Separando as variáveis e integrando a saída, onde   V p = 0 , V - = V e t   =   0 , temos:

∫ V V - d V - V = - 3 π μ D p m p ∫ 0 t d t

ln ⁡ V - V = - 3 π μ D p t m p

  V - = V exp ⁡ - 3 π μ D p t m p = V - V p  

Então,

V p t = V 1 - exp ⁡ - 3 π μ D p t m p

Com V p = d x p d t ,   temos:

∫ 0 L d x p = ∫ 0 t f V 1 - exp ⁡ - 3 π μ D p t m p d t

L = V t f - V m p 3 π μ D p 1 - exp ⁡ - 3 π μ D p t m p

Substituindo os valores de   D p ,   L ,   V e as propriedades do material, as equações anteriores fornecem:

V p = 166,7 m / s

t f = 0,011 s

Passo 4

Na letra (b) queremos o coeficiente convectivo associado à transferência de calor do plasma para a partícula. E o “tempo de voo” necessário para aquecer a partícula até o seu ponto de fusão, T p f .

Assumindo um valor médio de V - =   315   m / s , o número de Reynolds é:

R e D = V D p v = 315 m / s × 50 × 10 - 6 m 5,6 × 10 - 3   m 2 / s = 2,81

Da correlação de Whitaker, temos:

N u D - = 2 + 0,4 R e D + 0,06 × R e D 2 3 × P r 0,4

N u D - = 2 + 0,4 2,81 + 0,06 × 2,81 2 3 × 0,60 0,4 = 2,64

Então,

h D - = N u D - k D p = 2,64 × 0,671 W m . K 50 × 10 - 6 m = 35400   W / m 2 . K

Passo 5

O processo de fusão em duas etapas envolve (i) o tempo t 1 para aquecer a partícula até seu ponto de fusão e (ii) o tempo t 2 necessário para alcançar a fusão completa. Portanto, t m   =   t 1   +   t 2 .

t 1 = ρ p   c p D p   6 h D -   ln ⁡ T i - T ∞ T m p - T ∞

Substituindo os valores encontramos,

t 1 = 3970 k g m 3 × 1560 J k g . K × 50 × 10 - 6 m 6 × 35400 W m 2 . K ln ⁡ ( 300 - 10000 ) ( 2318 - 10000 ) = 3,4 × 10 - 4   s

Fazendo um balanço de energia para a segunda parte obtemos,

∫ t 1 t m q c o n v d t = Δ E s t = ρ p V h s f

Então,

t 2 = ρ p D p 6 h D - h s f ( T ∞ - T m p ) = 3970 k g m 3 × 50 × 10 - 6 m 6 × 35400 W m 2 . K × 3,577 × 10 6 J / k g 10000 - 2318 K = 4,4 × 10 - 4

Então,

t m = 3,4 × 10 - 4 + 4,4 × 10 - 4 s = 7,8 × 10 - 4 s

E o valor prescrito de L é suficiente para garantir a fusão completa antes do impacto.

Resposta

  1. V p t = V 1 - exp ⁡ - 3 π μ D p t m p , L = V t f - V m p 3 π μ D p 1 - exp ⁡ - 3 π μ D p t m p
  2. V p = 166,7 m / s

    t f = 0,011 s

  3. h D - = 35400 W m 2 . K ,     t m = 7,8 × 10 - 4 s ,   o valor prescrito de L é suficiente para garantir a fusão completa antes do impacto.
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