Enunciado

Esferas de cobre com 20   m m de diâmetro são resfriadas pela imersão em um tanque contendo água, que é mantida a 280   K . Pode-se considerar que as esferas atinjam a sua velocidade terminal ao se chocarem com a superfície da água e que elas se desloquem livremente através da água. Estime a velocidade terminal das esferas igualando as forças de arrasto e gravitacional que atuam nas esferas. Qual é a altura aproximada que o tanque de água deve possuir para resfriar as esferas desde uma temperatura inicial de 360   K até uma temperatura no centro de 320   K ?

Passo 1

Nessa questão nós temos o diâmetro e as temperaturas inicial e final das esferas de cobre em banho-maria. Ilustrando isso, temos:

A partir disso queremos encontrar a velocidade terminal da esfera no banho e a altura do tanque. Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a esfera desce na velocidade terminal e a temperatura da superfície é uniforme, mas variável com o tempo. Além disso, as propriedades do cobre ( T = 350   K ) e da água ( T ∞ = 280   K ) foram retiradas da Tabela A.1.

Um balanço de forças realizado na esfera gera:

π D 2 2 C D ρ V 2 2 = ( ρ c u - ρ ) g   π D 3 6

Substituindo os valores retirados da Tabela A.1, temos:

C D V 2 = 4 D 3 ρ c u - ρ ρ g = 4 × 0,02 m 3 × 8933 - 1000 1000 × 9,8 m / s 2 = 2,07 m 2 / s 2    

É necessária uma solução iterativa, na qual o C D é obtido da Figura 7.9 com,

  R e D   = V D ν   = 0,02 m × V 1,42 × 10 - 6   m 2 / s   = 14 , 085   V   ( m / s )  

A convergência é alcançada com,

V   ≈   2 , 1   m   /   s    

Para essa velocidade temos que R e D   =   29 , 580 e C D   ≈   0,46 .

Passo 3

Usando a correlação de Whitaker:

N u D - = 2 + 0,4 29850 + 0,06 × 29850 2 3 × 10,26 0,4 × 1422 420 1 4 = 439

Então,

h D - = N u D - k D = 439 × 0 , 582 W m . K 0,02 m = 12775   W / m 2 . K

Para determinar a aplicabilidade do método de capacitância concentrada, vamos analisar o número de Biot.

B i = h D - r o 3 k c u = 12775 W m 2 . K 0,01 m 3 398 W m . K = 0,11

Assim, vemos que a aplicabilidade é marginal.

Passo 4

Usando,

θ o * = C 1   e x p (   - ξ 1 2 F o )  

E da Tabela 5.1, vendo que,

B i = h - r o k = 0,32 , C 1 = 1,0937 e ξ 1 = 0,9472

Podemos substituir na equação anterior e obter:

0,5 = 1,0937   e x p ⁡ ( - 0,9472 2 F o )

F o = 0,87 = α t f r o 2

Passo 5

Com,

α c u = k ρ c p = 398 W m . K 8933 k g m 3 387 J k g . K = 1,15 × 10 - 4 m 2 / s

Encontramos,

t f = 0,87 0,01   m 2 1,15 × 10 - 4 m 2 / s = 0,76   s

Então, a altura do tanque requerida é:

H = t f . V = 0,76   s × 2,1 m / s = 1,6 m

Resposta

V   ≈   2 , 1   m   /   s    

H = 1,6 m

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