Enunciado

Considere o seguinte campo de velocidade em regime permanente, incompressível e bidimensional:

V → = u , v = 0,5 + 1,2 ⋅ x i → + - 2,0 - 1,2 ⋅ y j →

Gere uma expressão analítica para as linhas de corrente do escoamento e desenhe várias linhas de corrente no quadrante superior direito de x = 0 a 5 e de y = 0 a 6 .

Passo 1

A questão pede que a gente ache uma equação que represente as curvas, conhecidas como linhas de corrente, de um escoamento. A velocidade de cada partícula de fluido desse escoamento pode ser calculada pela equação abaixo.

V → = 0,5 + 1,2 ⋅ x ⏟ u i → + - 2,0 - 1,2 ⋅ y ⏟ v j →

onde u é a componente do eixo x da velocidade V → , v é a componente do eixo y da velocidade V → . Isso quer dizer que para esse escoamento bidimensional no plano x y :

u = 0,5 + 1,2 ⋅ x

v = - 2,0 - 1,2 ⋅ y

No próximo passo, vamos entender como usar essa informação para determinar a equação das linhas de corrente.

Passo 2

O primeiro passo para transformar as equações de u e v na equação das linhas de corrente é usar a equação 4 - 16 do livro que está abaixo. Ela mostra a relação entre a inclinação das linhas de corrente d y d x , u e v .

d y d x = v u       ⟹       d y d x = - 2,0 - 1,2 ⋅ y 0,5 + 1,2 ⋅ x

Reorgazinando a equação acima, encontramos:

d y d x = - 2,0 - 1,2 ⋅ y 0,5 + 1,2 ⋅ x       ⟹       d y - 2,0 - 1,2 ⋅ y = d x 0,5 + 1,2 ⋅ x

Passo 3

Integrando os dois lados da equação, achamos:

∫ d y - 2,0 - 1,2 ⋅ y = ∫ d x 0,5 + 1,2 ⋅ x

- 1 1,2 ⋅ ln ⁡ - 2,0 - 1,2 ⋅ y = 1 1,2 ⋅ ln ⁡ 0,5 + 1,2 ⋅ x + 1 1,2 ⋅ ln ⁡ K

onde K é uma constante de integração.

Continuando o desenvolvimento dessa equação e utilizando as propriedades do logarítmo:

ln ⁡ - 2,0 - 1,2 ⋅ y - 1 = ln ⁡ 0,5 + 1,2 ⋅ x ⋅ K       ⟹       - 2,0 - 1,2 ⋅ y - 1 = 0,5 + 1,2 ⋅ x ⋅ K

1 - 2,0 - 1,2 ⋅ y = 0,5 + 1,2 ⋅ x ⋅ K       ⟹       1 0,5 + 1,2 ⋅ x ⋅ K = - 2,0 - 1,2 ⋅ y

y = 1 0,5 + 1,2 ⋅ x ⋅ - 1 K ⋅ 1,2 ⏟ C - 2,0 1,2       ⟹     y = C 0,5 + 1,2 ⋅ x - 5 3

onde C é outra constante criada a partir de K .

Passo 4

Para desenhar várias linhas de corrente no quadrante superior direito de x = 0 a 5 e de y = 0 a 6 , é necessário apenas desenhar a curva com a equação acima para vários valores da constante C . Por exemplo, vamos desenhar uma curva com C valendo zero, outra com C valendo 1 e assim por diante! A figura abaixo mostra essa figura com as linhas de corrente!

Resposta

y = C 0,5 + 1,2 ⋅ x - 5 3

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