Enunciado

Considere uma superfície difusa quadrada Δ A o com 5   m m de lado, que tem um poder emissivo total E o   =   4000   W / m 2 . O campo de radiação devido à emissão para o espaço hemisférico acima da superfície é difuso, proporcionando assim uma intensidade uniforme I ( θ ,   ϕ ) . Além disso, se o espaço for um meio não participante (não absorvedor, não espalhador e não emissor), a intensidade é independente do raio para qualquer direção ( θ ,   ϕ ) . Assim, as intensidades em quaisquer pontos P 1 e P 2 seriam iguais.

(a) Qual é a taxa na qual a energia radiante é emitida por Δ A o ,   q e m i t ?

(b) Qual é a intensidade I o , e do campo de radiação emitido a partir da superfície Δ A o ?

(c) Partindo da Equação 12.13 e presumindo o conhecimento da intensidade I o , e , obtenha uma expressão para q e m i t .

(d) Considere a superfície hemisférica localizada em r   =   R 1   =   0,5   m . Usando a exigência de conservação da energia, determine a taxa na qual a energia radiante incide sobre essa superfície devido à emissão a partir de Δ A o .

(e) Utilizando a Equação 12.10, determine a taxa na qual a energia radiante que deixa Δ A o é interceptada por uma pequena área Δ A 2 localizada na direção ( 45 ° ,   ϕ )   sobre a superfície hemisférica. Qual é a irradiação sobre Δ A 2 ?

(f) Repita a parte (e) para a localização ( 0 ° ,   ϕ ) . Os valores das irradiações nas duas localizações são iguais?

(g) Usando a Equação 12.18, determine a irradiação G 1 sobre a superfície hemisférica em r   =   R 1 .

Passo 1

Oi! Eu sei que essa questão parece ser imensa e assustadora mas cão que ladra não morde, né não? Então fica tranquilo e vem comigo que você vai ver que ela não é tão grande assim 😉.

Aqui nós temos uma superfície difusa Δ A o , quadrado de 5   m m , com potência emissiva total E o   =   4000   W / m 2 . E com isso queremos encontrar q e m i t ,   I o , e do campo de radiação emitido a partir da superfície Δ A o , uma expressão para q e m i t .

Além da taxa na qual a energia radiante incide sobre a superfície hemisférica devido à emissão a partir de Δ A o , a taxa na qual a energia radiante que deixa Δ A o é interceptada por Δ A 2 localizada na direção 45 ° ,   ϕ e 0 ° ,   ϕ   sobre a superfície hemisférica, a irradiação sobre Δ A 2 e G 1 .

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir superfície difusa, Δ A o , meio acima de Δ A o não participa e R 1 2 > >   Δ A o ,   Δ A 2 . A potência radiante que deixa Δ A o por emissão é,

q e m i t = E o .   Δ A o = 4000   W / m 2 ( 0,005 m × 0,005 m ) = 0,10   W

A intensidade emitida é I o , e é independente da direção, já que ΔAo é um emissor difusor,

I o , e = E o π = 1273 W m 2 . s r

As intensidades nos pontos P 1 e P 2 também são I o , e e a intensidade permanecerá constante, não importando a que distância o ponto esteja da superfície Δ A o , uma vez que o espaço não é participativo.

Passo 3

Pelo conhecimento de I o , e , a potência radiante saindo de Δ A o é,

q e m i t = ∫ h I o , e Δ A o cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ d ϕ = I o , e Δ A o ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = 0 π / 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ d ϕ = π I o , e Δ A o = 0,10   W

Definindo as superfícies de controle acima de Δ A o e em A 1 , a potência radiante que sai de Δ A o deve passar por A 1 .

q 1 , i n c = E o Δ A o = 0,10   W

A irradiação média no hemisfério, A 1 , em que,

  A 1   =   2 π R 1 2

Com base na definição,

G 1 - = q 1 , i n c A 1 = E o Δ A o 2 π R 1 2 = 63,7   W / m 2

Onde q 1 , i n c   é o incidente de energia radiante na superfície A 1 .

Passo 4

A potência radiante que deixa Δ A o   interceptada por Δ A 2 , onde Δ A 2   =   4   ×   10 - 6   m 2 , localizada em ( θ   =   45 ° , ϕ ) segue da seguinte expressão:

q Δ A o → Δ A 2 = I o , e Δ A o cos ⁡ θ o Δ ω 2 - 0

Onde θ o = 45 ° e o ângulo sólido Δ A 2 subtende em relação a   Δ A o é,

ω 2 - 0 = Δ A 2 cos ⁡ θ 2 R 1 2 = 4 × 10 - 6 m 2 . 1 0,5 m 2 = 1,60 × 10 - 5 s r

Onde θ 2 = 0 ° , a direção normal para Δ A 2 ,

q Δ A o → Δ A 2 = 1273 W m 2 . s r × 25   ×   10 - 6   m 2 cos ⁡ 45 ° × 1,60 × 10 - 5 s r = 3,60 × 10 - 7 W

A partir da definição de irradiação,

G 2 = q Δ A o → Δ A 2 Δ A 2 = 90   m W / m 2

Passo 5

Com Δ A 2 , localizado em ( θ   =   0 ° , ϕ ) , onde cos ⁡ θ o = 1 ,   cos ⁡ θ 2 = 1 , encontramos:

Δ ω 2 - 0 = 1,60 × 10 - 5 s r

q Δ A o → Δ A 2 = 5,09 × 10 - 7 W

G 2 = 127   m W / m 2

Observe que a irradiação em Δ A 2 quando está localizada em ( 0 ° ,   φ ) é maior do que quando Δ A 2 está localizado em ( 45 ° ,   φ ) ,

127 m W m 2 > 90   m W / m 2

Passo 6

Baseado na Figura 12.10, encontramos:

G 1 - = ∫ h I 1 , i d A 1 d ω 0 - 1 A 1 = π I o , e Δ A o / Δ A 1 = 63,7   m W / m 2

Onde a área elementar na superfície hemisférica A 1 e o ângulo sólido Δ A o subtende em relação a Δ A 1 são, respectivamente,

d A 1 = R 1 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ

d ω 0 - 1 = Δ A o cos ⁡ θ / R 1 2

A partir deste cálculo, temos que a irradiação média na superfície do hemisfério,   r   =   R 1 , é G 1 - = 63,7   m W / m 2 .

Fim 😊

Resposta

  1. q e m i t = 0,10   W
  2. I o , e = 1273 W m 2 . s r
  3. q e m i t = 0,10   W
  4. G 1 - = 63,7   W / m 2
  5. G 2 = 127   m W / m 2
  6. A irradiação em Δ A 2 quando está localizada em ( 0 ° ,   φ ) é maior do que quando Δ A 2 está localizado em ( 45 ° ,   φ ) ,
  7. 127 m W m 2 > 90   m W / m 2

  8. G 1 - = 63,7   m W / m 2
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