Enunciado

Fornos isotérmicos com pequenas aberturas, que se aproximam de um corpo negro, são usados com frequência para calibrar medidores de fluxo térmico, termômetros de radiação e outros equipamentos radiométricos. Em tais aplicações, é necessário controlar a potência que é fornecida ao forno, de tal maneira que a variação da temperatura e da intensidade espectral da abertura fique dentro de limites desejáveis.

  1. Levando em consideração a distribuição espectral de Planck, Equação 12.30, mostre que a razão entre a variação relativa da intensidade espectral e a variação relativa da temperatura do forno tem a forma
  2. Usando essa relação, determine a variação permissível na temperatura do forno, operando a 2000 K, para garantir que a intensidade espectral a 0,65 μm não irá variar em mais de 0,5%. Qual é a variação permissível para 10 μm?

Passo 1

Temos duas letrinhas para resolver! Vamos lá!

Começando pela letra a, precisamos fazer uma demonstração, certo?

Vamos primeiro escrever a equação 12.30:

I λ ( λ ,   T ) = C 1 π   .   λ 5   .   e x p C 2 λ   .   T   - 1

Se a gente fizer o logaritmo natural nos dois lados teremos o seguinte:

l n   I λ = l n C 1 π   .   λ 5   .   e x p C 2 λ   .   T   - 1

l n   I λ = l n C 1 π   .   λ 5   -   l n e x p C 2 λ   .   T   - 1

Agora vamos fazer a derivada dele, lembrando que λ é uma constante, beleza?

d   I λ = d e x p   C 2 λ   .   T - 1

E fazendo a razão ficaremos com:

d   I λ I λ =   - d e x p   C 2 λ   .   T - 1 e x p   C 2 λ   .   T - 1 =   -   e x p C 2 λ   .   T   .   C 2 λ - 1 T 2   .   d T e x p   C 2 λ   .   T - 1

d   I λ I λ = C 2 λ   .   T   .   e x p C 2 λ   .   T e x p   C 2 λ   .   T - 1   .   d T T

ou

d   I λ / I λ d T / T = C 2 λ   .   T   .   1 1   -   e x p   - C 2 λ   .   T

Show de bola! Partiu letra b!

Passo 2

Agora vamos encontrar a variação da temperatura no forno, beleza?

Considerando um T = 2000   K , um λ = 0,65   μ m e um d   I λ / I λ = 0,5 % , vamos ter:

d T T = d   I λ I λ C 2 λ   .   T   .   1 1   -   e x p   - C 2 λ   .   T

d T T = 0,005 14388 0,65   .   2000   .   1 1   -   e x p   - 14388 0,65   .   2000

d T T = 4,517   .   10 - 4

Então nossa variação de temperatura vai ser:

Δ T = 4,517   .   10 - 4   .   T

Δ T = 4,517   .   10 - 4   .   2000

Δ T = 0,90   K

Passo 3

Ainda na letra b, vamos considerar agora um λ = 10   μ m , ficaremos com:

d T T = 0,005 14388 10   .   2000   .   1 1   -   e x p   - 14388 10   .   2000

d T T = 3,565   .   10 - 3

E a nova variação de temperatura será:

Δ T = 3,565   .   10 - 3   .   2000

Δ T = 7,1   K

Show! Arrasamos!

Resposta

  1. Passo 1.
  2. Para λ = 0,65   μ m : Δ T = 0,90   K

Para λ = 10   μ m : Δ T = 7,1   K

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