Enunciado

Considere um tubo retangular liso de 10   m de comprimento com a = 50   m m e b = 25   m m , mantido em uma temperatura de superfície constante. Água entra no tubo a 20 ℃ com vazão mássica de 0,01   k g / s . Determine a temperatura da superfície do tubo necessária para aquecer a água na temperatura de saída desejada de 80 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Vazão mássica: m ˙ = 0,01   k g / s

Temperatura média da água na entrada: T i = 20 ℃

Temperatura média da água na saída: T e = 80 ℃

Comprimento do tubo: L = 10   m

Largura do tubo: a = 50   m m = 0,05   m

Altura do tubo: b = 25   m m = 0,025   m

Para resolver a questão, começamos calculando a temperatura média da água com a seguinte relação:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída da água. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 20 ℃ + 80 ℃ 2

T m é d i a = 50 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades da água em  50 ℃ a 1   a t m na Tab. A-9.

Condutividade térmica: k = 0,644   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,547 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4181   J / k g ⋅ K  

Densidade da água: 988,1   k g / m 3  

Número e Prandtl: P r = 3,55

Passo 2

Agora, vamos calculando o diâmetro hidráulico do tubo retangular. Assim temos:

D h = 4 A c p

Aqui,  D h é o diâmetro hidráulico,  A c é a área da seção transversal do duto e p  é o perímetro do duto. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

D h = 4 × a × b 2 × a + b

D h = 4 × 0,05   m × 0,025   m 2 × 0,05   m + 0,025   m

D h = 0,0333   m

Passo 3

Também temos que calcular a veleidade média. Podemos fazer isso com a seguinte relação:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

V m é d i a = m ˙ ρ a × b

Aqui,  A c é o área da seção transversal, ρ é a densidade da água e  m ˙ é a taxa de fluxo de massa.

Com a velocidade média, podemos calcular o número de Reynolds usando a seguinte relação:

R e = ρ V m é d i a D h μ

Substituindo a velocidade média, temos:

R e = m ˙ ρ D h μ ρ a × b

R e = m ˙ D h μ a × b

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 0,01   k g / s × 0,0333   m 0,547 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × 0,05   m × 0,025   m

R e = 487,5

Passo 4

Como o número de Reynolds obtido é menor que o 2.300 , o fluxo é laminar. Assim o comprimento da entrada hidrodinâmica para o fluxo laminar é:

L h = 0,05 × R e × D h

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente, temos:

L h = 0,05 × 487,5 × 0,0333   m

L h = 0,811   m

Agora, vamos calcular o comprimento da entrada térmica para o fluxo laminar.

L t = P r × L h

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente, temos:

L t = 3,55 × 0,811   m

L t = 2,879   m

Passo 5

Como os dois comprimentos de entrada são mais curtos que o comprimento total do tubo, o fluxo é laminar totalmente desenvolvido.

Agora, calculamos a o valor a / b . Assim temos:

a / b = 0,05 0,025 = 2

Na tabela “Números de Nusselt para diferentes seções transversais”, o número de Nusselt para  a / b = 2 é encontrado como N u = 3,39 .

Com o númer de Nusselt encontrado, calculamos o coeficiente de transferência de calor com a seguinte relação:

N u = h D h k

h = N u k D h

Aqui  k é a condutividade térmica. Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente, temos:

h = 3,39 × 0,644   W / m ⋅ K   0,0333   m

h = 65,56   W / m 2 ⋅ K  

Passo 6

Podemos calcular a temperatura da superfície tubo usando a seguinte relação:

T s - T e T s - T i = e - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica da água. Temos que A s = 2 a + b L .

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente e fornecidos no enunciado, temos:

T s - 80 T s - 20 = e - 65,56 × 2 0,05 + 0,025 10 0,01 × 4181

T s - 80 T s - 20 = 0,09517

T s - 80 = 0,09517 T s - 1,903

T s - 0,09517 T s = 80 - 1,903

T s = 86,31 ℃

Portanto, a temperatura da superfície é  86,31 ℃ .

Resposta

T s = 86,31 ℃

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