Enunciado

Considere um tubo liso de 25   m m de diâmetro e 15   m de comprimento mantido a uma temperatura de superfície constante. Fluidos entram no tubo a 50 ℃ com vazão de massa de 0,01   k g / s . Determine as temperaturas de superfície do tubo necessário para aquecer água, óleo do motor e líquido de mercúrio para a temperatura de saída desejada de 150 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do tubo: D = 0,025   m  

Comprimento do tubo: L = 15   m  

Temperatura de entrada do fluido: T i = 50 ℃  

Temperatura de saída do líquido: T e = 150 ℃  

Vazão mássica: m ˙ = 0,01   k g / s

Passo 2

Podemos começar calculando o diâmetro hidráulico do tubo circular. Assim temos:

D h = 4 A c p

Aqui,  D h é o diâmetro hidráulico,  A c é a área da seção transversal do duto e p  é o perímetro do duto. Substituindo os termos da equação pelas relações, temos:

D h = 4 π D / 2 2 2 π D / 2

D h = D

Podemos calcular a velocidade média do fluxo com a seguinte expressão:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

V m é d i a = 4 m ˙ ρ π D 2

Aqui, m ˙ é o fluxo mássico, A c é a área da seção transversal, ρ é a densidade e V m é d i a é a velocidade média.

Passo 3

Com a velocidade média podemos calcular o número de Reynolds. Assim temos:

R e = ρ V m é d i a D h μ

Substituindo a velocidade média, temos:

R e = 4 m ˙ ρ D h μ ρ π D 2

R e = 4 m ˙ μ π D

Passo 4

Vamos calcular a temperatura média para obter as suas propriedades dos fluidos. Assim temos:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 150 ℃ + 50 ℃ 2

T m é d i a = 100 ℃

Passo 5

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades da água em  100 ℃ a 1   a t m na Tab. A-9.

Condutividade térmica: k = 0,679   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,282 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4217   J / k g ⋅ K  

Número e Prandtl: P r = 1,75

Para determine a temperatura de superfície do tubo necessário para aquecer a água, primeiro calculamos o Número de Reynolds. Assim temos:

R e = 4 m ˙ μ π D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

R e = 4 × 0,01   k g / s 0,282 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × π × 0,025   m   = 1806,01

Como o número de Reynolds é menor que 2.300 . O fluxo é laminar. O comprimento hidrodinâmico da entrada pode ser calculando da seguinte forma:

L h = 0,05 R e D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

L h = 0,05 × 1806,01 × 0,025   m   = 2,257   m

O comprimento térmico da entrada pode ser calculando da seguinte forma:

L t = P r L h

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

L t = 1,75 × 2,257   m = 3,95   m

Como os comprimentos de entrada são mais curtos que o tubo, o fluxo é um fluxo laminar totalmente desenvolvido.

Podemos então tomar o valor do número de Nusselt da tabela 8-1 “Números de Nusselt para escoamento laminar completamente desenvolvido”, para seção transversal de tubo circular a temperatura da superfície constante como sendo:

N u = 3 , 6 6

Assim, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D k

h = k N u D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

h = 0,679   W / m ⋅ K × 3,6 6 0,025   m   = 99,4   W / m 2 ⋅ K  

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a temperatura de saída do fluido usando a seguinte relação:

T s - T e T s - T i = exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica. Temos que A s = π D L .

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente e fornecidos no enunciado, temos:

T s - 150 T s - 50 = exp ⁡ - 99,4 × π × 0,025 × 15 0,01 × 4217

T s - 150 T s - 50 = 0,0622

T s - 150 = 0,0622 T s - 3,11

0,9377 T s = 146,88

T s = 156,63 ℃

Portanto, a temperatura da superfície do tubo é 156,63 ℃ .

Passo 6

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades do óleo de motor em  100 ℃ a 1   a t m na Tab. A-13.

Condutividade térmica: k = 0,1367   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,01718   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 2220   J / k g ⋅ K  

Número e Prandtl: P r = 279,1

Para determine a temperatura de superfície do tubo necessário para aquecer o óleo de motor, primeiro calculamos o Número de Reynolds. Assim temos:

R e = 4 m ˙ μ π D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

R e = 4 × 0,01   k g / s 0,01718   k g / m ⋅ s × π × 0,025   m   = 29,64

Como o número de Reynolds é menor que 2.300 . O fluxo é laminar. O comprimento hidrodinâmico da entrada pode ser calculando da seguinte forma:

L h = 0,05 R e D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

L h = 0,05 × 29,64 × 0,025   m   = 0,037   m

O comprimento térmico da entrada pode ser calculando da seguinte forma:

L t = P r L h

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

L t = 279,1 × 0,037   m = 10,34   m

Como os comprimentos de entrada são mais curtos que o tubo, o fluxo é um fluxo laminar totalmente desenvolvido.

Podemos então tomar o valor do número de Nusselt da tabela 8-1 “Números de Nusselt para escoamento laminar completamente desenvolvido”, para seção transversal de tubo circular como sendo:

N u = 3,66

Assim, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D k

h = k N u D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

h = 0,1367   W / m ⋅ K × 3,66 0,025   m   = 20,013 W / m 2 ⋅ K  

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a temperatura de saída do fluido usando a seguinte relação:

T s - T e T s - T i = exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica. Temos que A s = π D L .

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente e fornecidos no enunciado, temos:

T s - 150 T s - 50 = exp ⁡ - 20,013 × π × 0,025 × 15 0,01 × 2220

T s - 150 T s - 50 = 0,3457

T s - 150 = 0,3457 T s - 17,29

0,6542 T s = 132,71

T s = 202,85 ℃

Portanto, a temperatura da superfície do tubo é 202,85 ℃ .

Passo 7

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades do mercúrio líquido em  100 ℃ a 1   a t m na Tab. A-13.

Condutividade térmica: k = 9,46706   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 1,245 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 137,1   J / k g ⋅ K  

Número e Prandtl: P r = 0,0180

Para determine a temperatura de superfície do tubo necessário para aquecer o mercúrio líquido, primeiro calculamos o Número de Reynolds. Assim temos:

R e = 4 m ˙ μ π D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

R e = 4 × 0,01   k g / s 1,245 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × π × 0,025   m   = 409,07

Como o número de Reynolds é menor que 2.300 . O fluxo é laminar. O comprimento hidrodinâmico da entrada pode ser calculando da seguinte forma:

L h = 0,05 R e D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

L h = 0,05 × 409,07 × 0,025   m   = 0,511   m

O comprimento térmico da entrada pode ser calculando da seguinte forma:

L t = P r L h

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

L t = 0,0180 × 0,511   m = 0,0092   m

Como os comprimentos de entrada são mais curtos que o tubo, o fluxo é um fluxo laminar totalmente desenvolvido.

Podemos então tomar o valor do número de Nusselt da tabela 8-1 “Números de Nusselt para escoamento laminar completamente desenvolvido”, para seção transversal de tubo circular como sendo:

N u = 3,6 6

Assim, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D k

h = k N u D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrados, temos:

h = 9,46706     W / m ⋅ K × 3 , 6 6 0,025   m   = 1385,98   W / m 2 ⋅ K  

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a temperatura de saída do fluido usando a seguinte relação:

T s - T e T s - T i = exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica. Temos que A s = π D L .

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente e fornecidos no enunciado, temos:

T s - 150 T s - 50 = exp ⁡ - 1385,98 × π × 0,025 × 15 0,01 × 137,1

T s - 150 T s - 50 ≅ 0

T s = 150 ℃

Portanto, a temperatura da superfície do tubo é 150 ℃ .

Resposta

Temperatura de superfície do tubo necessário para aquecer a água:

T s = 156,63 ℃

Temperatura de superfície do tubo necessário para aquecer o óleo de motor:

T s = 202,85 ℃

Temperatura de superfície do tubo necessário para aquecer o mercúrio líquido:

T s = 150 ℃

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